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第1章 整数和多项式的表示与运算1

1.1 素数与带余除法1

1.1.1 素数1

1.1.2 带余除法3

1.2 最大公因子与辗转相除法4

1.3 模运算与同余6

1.3.1 模运算6

1.3.2 同余7

1.3.3 欧拉定理9

1.4 多项式的表示与运算11

1.4.1 多项式的概念与四则运算11

1.4.2 多项式的带余除法12

1.4.3 多项式的辗转相除法13

1.4.4 多项式的分解与表示15

1.5 模运算在密码学中的应用18

1.5.1 密码学的基本概念18

1.5.2 移位密码20

1.5.3 多表代换密码20

1.5.4 多字母代换密码21

小结22

习题23

第2章 同余方程与不定方程24

2.1 同余方程24

2.2 中国剩余定理25

2.3 不定方程27

2.4 同余方程与中国剩余定理在密码学中的应用29

2.4.1 同余方程与仿射密码29

2.4.2 中国剩余定理与密钥的分散管理30

小结32

习题33

第3章 群34

3.1 关系与等价关系34

3.1.1 关系34

3.1.2 等价关系35

3.2 映射与运算37

3.2.1 映射37

3.2.2 运算38

3.2.3 同态映射39

3.3 群的定义与性质41

3.3.1 半群与含幺半群41

3.3.2 群42

3.4 子群与群的同态45

3.4.1 子群45

3.4.2 群的同态46

3.5 循环群47

3.6 陪集与正规子群49

3.6.1 陪集49

3.6.2 正规子群51

3.6.3 群同态基本定理54

3.7 群理论在密码学中的应用56

3.7.1 公钥密码的概念56

3.7.2 群中元素的运算、欧拉定理与RSA公钥加密算法57

3.7.3 群中元素的运算与背包公钥密码体制59

小结61

习题61

第4章 环62

4.1 环的定义与性质62

4.1.1 环的概念62

4.1.2 整环与除环66

4.2 子环和环的同态70

4.2.1 子环的概念70

4.2.2 环的同态71

4.3 环的直积、矩阵环、多项式环、序列环72

4.3.1 环的直积与矩阵环72

4.3.2 多项式环与序列环73

4.4 理想与环同态基本定理77

4.4.1 理想77

4.4.2 环同态基本定理79

4.5 环在信息安全中的应用83

4.5.1 拉格朗日插值与密钥的分散管理83

4.5.2 同态密码体制85

小结90

习题90

第5章 域92

5.1 分式域92

5.2 扩域94

5.3 多项式的分裂域99

5.4 域的特征及有限域的构造105

5.5 域在信息安全中的应用111

5.5.1 AES加密算法中的多项式运算111

5.5.2 离散对数与Diffie-Hellman密钥交换协议113

小结115

习题115

第6章 组合数学基础117

6.1 排列与组合117

6.1.1 加法法则与乘法法则117

6.1.2 排列与组合119

6.2 母函数与递推关系124

6.2.1 递推关系124

6.2.2 母函数及其应用133

6.3 容斥原理139

6.4 排列方法在信息安全中的应用143

6.4.1 替换密码143

6.4.2 DES加密算法中的S盒144

小结150

习题150

参考文献153