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第一章 误差1

1 误差的来源1

2 绝对误差、相对误差与有效数字3

2.1 绝对误差与绝对误差限3

2.2 相对误差与相对误差限4

2.3 有效数字5

2.4 有效数字与相对误差间的联系6

3 估计误差的一个基本方法8

4 数值计算中必须注意的几个问题10

习题一13

第二章 多项式插值14

1 引言14

1.1 本章要解决的问题14

1.2 多项式插值问题的基本提法14

1.3 插值多项式的存在唯一性15

2 插值多项式的求法16

2.1 基本插值多项式16

2.2 拉格朗日插值多项式17

3 差分与用差分表示的插值多项式20

3.1 差分20

3.2 前插公式与后插公式23

3.3 均差与牛顿基本插值多项式27

4 插值多项式的余项31

5 埃尔米特插值34

5.1 本节要解决的问题34

5.2 埃尔米特插值多项式H2n+1(x)的求法35

6 三次样条插值39

6.1 三次样条插值问题的提法41

6.2 边界条件问题的提出与常见类型42

6.3 三次样条插值函数的求法43

小结55

习题二55

第三章 数值微分与数值积分58

1 引言58

2 数值微分59

2.1 利用插值多项式求数值导数59

2.2 利用三次样条插值函数求数值导数63

3 数值积分初步64

3.1 构造数值求积公式的方法65

3.2 等距节点下的插值型求积公式65

3.3 误差分析69

3.4 求积公式的代数精度73

3.5 牛顿--柯特斯公式的稳定性和收敛性简析75

4 复合求积76

4.1 复合求积公式76

4.2 误差分析78

4.3 步长的自动选择81

5 龙贝格算法83

5.1 梯形法的逐次分半算法83

5.2 龙贝格算法86

6 高斯型求积公式90

6.1 正交多项式91

6.2 高斯点与正交多项式的联系96

6.3 高斯型求积公式的构造97

6.4 高斯型求积公式的余项99

6.5 稳定性与收敛性101

6.6 一般高斯型求积公式及其构造102

7 广义积分的计算105

7.1 无穷区间上的广义积分105

7.2 无界函数的广义积分107

小结109

习题三110

第四章 曲线拟合与函数逼近113

1 引言113

2 曲线拟合的最小二乘法114

2.1 什么是最小二乘法114

2.2 最小二乘解的求法116

2.3 切比雪夫多项式在求最小二乘解中的应用126

3 连续函数的多项式逼近132

3.1 问题的提法132

3.2 最佳一致逼近多项式及其求法134

3.3 最佳平方逼近多项式及其求法143

4 快速富氏变换148

4.1 三角函数插值149

4.2 离散富氏变换及其逆变换152

4.3 快速富氏变换(FFT)153

4.4 实序列的FFT算法159

小结163

习题四163

第五章 非线性方程求根166

1 引言166

2 二分法168

3 迭代法170

4 牛顿--雷扶生方法179

4.1 牛顿公式179

4.2 牛顿法局部收敛性180

4.3 牛顿下山法187

5 迭代法的收敛阶和加速收敛方法190

5.1 迭代法的收敛阶190

5.2 埃特金加速方法(△2-方法)194

6 解非线性方程的插值方法198

6.1 正割法198

6.2 抛物线法200

小结203

习题五203

第六章 解线性方程组的直接法206

1 引言206

2 高斯消去法207

2.1 高斯消去法208

2.2 高斯消去法的计算量213

2.3 高斯--若当消去法214

3 高斯主元素消去法216

3.1 完全主元素消去法217

3.2 列主元素消去法219

3.3 标度化列主元素消去法221

3.4 用高斯--若当消去法(列主元素)求逆矩阵224

4 用直接三角分解法解方程组228

5 解对称正定矩阵方程组的平方根法235

5.1 对称正定矩阵及其性质236

5.2 平方根法237

5.3 改进的平方根法240

5.4 用改进的平方根法解大型带状矩阵方程组244

6 解三对角线方程组的追赶法245

小结248

习题六249

第七章 解方程组的迭代法252

1 引言252

2 向量和矩阵的范数252

3 解线性方程组的雅可比迭代法与高斯--塞德尔迭代法261

3.1 迭代法一般概念261

3.2 雅可比迭代法264

3.3 高斯--塞德尔迭代法266

4 迭代法的收敛性268

5 解线性方程组的超松弛迭代法273

6 误差估计和迭代改善方法280

6.1 矩阵的条件数 病态方程组280

6.2 迭代改善方法286

7 解非线性方程组的迭代法288

7.1 解非线性方程组的一般迭代法289

7.2 解非线性方程组的牛顿法295

小结300

习题七300

第八章 矩阵的特征值与特征向量的计算方法304

1 引言304

2 幂法及反幂法308

2.1 幂法308

2.2 加速方法314

2.3 反幂法317

3 计算对称矩阵特征值的雅可比方法322

3.1 引言322

3.2 古典的雅可比方法326

3.3 雅可比过关法330

小结331

习题八331

第九章 常微分方程初值问题的数值解法333

1 引言333

2 尤拉方法336

2.1 尤拉方法的导出336

2.2 尤拉方法的精度分析339

2.3 泰勒方法341

2.4 改进的尤拉方法344

3 龙格--库塔方法350

3.1 龙格--库塔方法的导出351

3.2 高阶龙格--库塔方法353

3.3 步长的自动选择358

4 线性多步方法360

4.1 阿达姆斯显式与隐式线性多步方法362

4.2 阿达姆预估--校正方法367

5 一阶方程组与高阶方程的数值解法372

6 稳定性概念376

6.1 稳定性定义376

6.2 绝对稳定性与条件稳定性379

小结385

习题九385

第十章 常微分方程边值问题的数值解法389

1 打靶法389

2 有限差分法392

2.1 差分方程的建立392

2.2 其他边值条件的讨论394

2.3 非线性方程边值问题的差分方法395

3 有限元方法397

3.1 变分原理397

3.2 里兹过程399

3.3 基函数的选取401

3.4 有限元方法的计算步骤404

小结407

习题十407

第十一章 偏微分方程的数值解法409

1 基本概念及解抛物型方程的差分格式410

1.1 古典显格式410

1.2 古典隐格式416

1.3 收敛性、稳定性的概念416

1.4 李查逊格式及六点对称格式420

2 稳定性与收敛性的讨论及判稳方法422

2.1 稳定性定义422

2.2 判别稳定性的代数方法423

2.3 判别稳定性的冯·诺依曼方法(分离变量法)426

3 双曲型方程的差分格式429

3.1 双曲型方程解的一些特性429

3.2 一阶线性双曲型方程的差分格式431

3.3 变系数一阶方程的差分格式434

3.4 二阶线性双曲型方程的差分格式437

4 解椭圆型方程边值问题的差分格式440

4.1 差分格式的建立440

4.2 实例分析443

5 解椭圆型方程边值问题的有限元法445

5.1 变分原理445

5.2 单元剖分及基函数的选取449

5.3 有限元方程的形成453

5.4 实例分析459

小结465

习题十一465

附录468