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引言1

第一章　函数与极限5

第一节　函数5

一、函数的概念5

二、函数举例6

三、初等函数7

第二节　函数的极限9

一、函数极限的概念9

二、函数极限的性质11

三、函数极限的运算12

四、极限存在准则与两个重要的极限14

五、无穷小的比较17

第三节　函数的连续性17

一、函数的连续性17

二、函数的间断点17

三、初等函数的连续性17

四、闭区间上连续函数的性质19

第四节　关于极限的注记20

一、中国古代数学中极限思想的萌芽20

二、关于极限的描述问题20

三、？(1+1/n)n的存在性21

习题一22

第二章　导函数与微分25

第一节　函数的导函数25

一、导函数的定义25

二、函数导数的几何意义26

三、函数的可导性和连续性的关系26

四、导函数的线性性质27

五、导函数举例27

第二节　函数的微分29

一、函数微分的定义29

二、用微分作近似计算举例31

第三节　微分法32

一、反函数微分法32

二、复合函数微分法33

三、和差积商函数微分法35

四、高阶导函数38

第四节　微分中值定理40

一、Rolle中值定理40

二、Lagrange中值定理41

三、Cauchy中值定理42

四、中值定理应用初步42

第五节　导数和微分的再认识44

一、要挖掘导数的内涵和外延44

二、自然界事物运动中的导数44

三、微分法的再认识45

四、再谈函数增量与微分的关系47

习题二49

第三章　原函数与积分52

第一节　原函数和不定积分52

一、原函数52

二、不定积分54

三、不定积分的线性性质55

第二节　积分法56

一、换元积分法57

二、分部积分法59

第三节　定积分62

一、积累量62

二、定积分分析定义63

三、定积分的性质64

第四节　微积分基本定理和定积分计算66

一、微积分基本定理66

二、定积分的换元积分法70

三、定积分的分部积分法72

第五节　积分的再认识73

一、关于不定积分和定积分的关系73

二、关于定积分的定义74

三、再谈定积分的定义75

习题三76

第四章　导数的应用79

第一节　变化率问题79

一、函数的变化率79

二、函数的增长率80

三、函数的弹性81

四、相关变化率82

第二节　L'Hospital法则84

一、0/0型未定式84

二、∞/∞型未定式85

三、可化为0/0和∞/∞型的极限86

第三节　Taylor公式87

第四节　函数的增减性92

第五节　函数的极值、最大值与最小值94

一、函数的极值问题94

二、函数的最大值、最小值问题97

第六节 曲线的凹凸性、渐近线及函数图形的描绘100

一、曲线的凹凸性100

二、渐近线103

三、函数图形的描绘104

习题四106

第五章　定积分的应用111

第一节　定积分的微元法111

第二节　平面图形的面积113

一、直角坐标系下平面图形的面积114

二、极坐标系下平面图形的面积116

第三节　立体图形的体积119

一、已知截面面积的立体图形的体积119

二、旋转体的体积119

第四节　平面曲线的弧长123

一、直角坐标系下平面曲线的弧长123

二、参数方程下平面曲线的弧长125

三、极坐标系下平面曲线的弧长125

第五节　定积分在物理中的应用举例126

一、位移127

二、质量127

三、力128

四、功和能129

五、平均值131

习题五132

第六章　反常积分135

第一节　无穷区间上的反常积分135

一、无穷区间上的反常积分的概念135

二、无穷区间上的反常积分的计算137

第二节　无界函数的反常积分139

第三节　Г函数141

习题六144

第七章　微分方程145

第一节　微分方程及其解的概念145

一、微分方程的定义145

二、微分方程的解146

三、几个实例147

第二节　分离变量法148

第三节　一阶线性微分方程149

第四节　用变量代换法解微分方程152

一、齐次方程152

二、Bernoulli方程154

三、几种特殊类型的高阶方程154

四、可化为齐次方程的一类微分方程156

第五节　常系数线性微分方程158

一、n阶线性微分方程解的结构159

二、二阶常系数线性微分方程160

三、n阶常系数线性微分方程170

习题七172

第八章　二元函数微积分175

第一节　二元函数的基本概念175

一、平面点集的有关概念175

二、二元函数的定义176

三、二元函数的极限178

四、二元函数的连续性179

五、有界闭区域上连续多元函数的性质179

第二节　偏导数180

一、偏导数的定义180

二、偏导数的计算181

三、高阶偏导数182

四、全微分183

五、二元复合函数的求导运算185

第三节　多元函数的极值186

一、二元函数极值的定义186

二、二元函数极值存在的条件187

三、条件极值188

第四节　二重积分的概念及性质189

一、二重积分的概念189

二、二重积分的几何意义191

三、二重积分的性质192

第五节　二重积分的计算192

一、利用直角坐标计算二重积分192

二、利用极坐标计算二重积分196

第六节　二重积分的应用举例198

一、求曲面的面积199

二、求体积200

三、求平面薄片的重心200

四、求平面薄片的转动惯量201

习题八202

第九章　级数206

第一节　级数及其收敛性206

一、常数项级数的概念206

二、收敛级数的基本性质208

三、级数的审敛法209

四、绝对收敛与条件收敛216

第二节　Taylor级数217

一、函数项级数的概念217

二、幂级数及其收敛性218

三、幂级数的运算与和函数的求法221

四、函数展开成Taylor级数225

第三节　Fourier级数230

一、三角级数的概念231

二、函数展开为Fourier级数232

三、函数展开成正弦级数或余弦级数235

四、周期为2l的函数的Fourier级数237

习题九241

第十章　数学模型简介243

第一节　数学模型的有关概念243

一、数学建模简介243

二、数学建模的一般方法和步骤244

三、数学模型及其分类246

第二节　数学建模举例246

一、双层玻璃窗的功效246

二、交通管理中亮黄灯的时间问题248

三、湖水污染问题模型249

四、传染病模型252

习题十257

附录Ⅰ 积分表258

附录Ⅱ 习题参考答案263

参考文献275