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第1章 函数、图像和直线1

1.1 函数1

1.1.1 区间表示法3

1.1.2 求定义域3

1.1.3 利用图像求值域4

1.1.4 垂线检验5

1.2 反函数6

1.2.1 水平线检验7

1.2.2 求逆8

1.2.3 限制定义域8

1.2.4 反函数的反函数9

1.3 函数的复合10

1.4 奇函数和偶函数12

1.5 线性函数的图像14

1.6 常见函数及其图像16

第2章 三角学回顾21

2.1 基本知识21

2.2 三角函数定义域的扩展23

2.2.1 ASTC方法25

2.2.2 ［0,2π］以外的三角函数27

2.3 三角函数的图像29

2.4 三角恒等式32

第3章 极限导论34

3.1 极限：基本思想34

3.2 左极限与右极限36

3.3 何时不存在极限37

3.4 在∞和-∞处的极限38

3.5 关于渐近线的两个常见错误认知41

3.6 三明治定理43

3.7 极限的基本类型小结45

第4章 如何求解涉及多项式的极限问题47

4.1 包含当x→a时的有理函数的极限47

4.2 当x→a时的涉及平方根的极限50

4.3 当x→∞时涉及的有理函数的极限51

4.4 当x→∞时的多项式型函数的极限56

4.5 当x→-∞时的有理函数的极限59

4.6 包含绝对值的极限61

第5章 连续性和可导性63

5.1 连续性63

5.1.1 在一点处连续63

5.1.2 在一个区间上连续64

5.1.3 连续函数的例子65

5.1.4 介值定理67

5.1.5 一个更难的IVT例子69

5.1.6 连续函数的最大值和最小值70

5.2 可导性71

5.2.1 平均速率71

5.2.2 位移和速度72

5.2.3 瞬时速度73

5.2.4 速度的图像解释74

5.2.5 切线75

5.2.6 导函数76

5.2.7 作为极限比的导数78

5.2.8 线性函数的导数80

5.2.9 二阶导数和更高阶导数80

5.2.10 导数何时不存在81

5.2.11 可导性和连续性82

第6章 如何求解微分问题84

6.1 使用定义求导84

6.2 求导（好方法）87

6.2.1 函数的常数倍88

6.2.2 函数和与函数差88

6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数88

6.2.4 通过商法则求商函数的导数90

6.2.5 通过链式求导法则求复合函数的导数91

6.2.6 一个令人讨厌的例子94

6.2.7 乘积法则和链式求导法则的理由96

6.3 求切线方程98

6.4 速度和加速度99

6.5 导数伪装的极限102

6.6 分段函数的导数104

6.7 直接画出导函数的图像107

第7章 三角函数的极限和导数111

7.1 涉及三角函数的极限111

7.1.1 小数情况111

7.1.2 问题的求解——小数的情况113

7.1.3 大数的情况117

7.1.4 “其他的”情况120

7.1.5 一个重要极限的证明121

7.2 涉及三角函数的导数124

7.2.1 求三角函数导数的例子127

7.2.2 简谐运动128

7.2.3 一个好奇的函数129

第8章 隐函数求导和相关变化率132

8.1 隐函数求导132

8.1.1 技巧和例子133

8.1.2 隐函数求二阶导137

8.2 相关变化率138

8.2.1 一个简单的例子140

8.2.2 一个稍难的例子141

8.2.3 一个更难的例子142

8.2.4 一个非常难的例子144

第9章 指数函数和对数函数148

9.1 基础知识148

9.1.1 指数函数的回顾148

9.1.2 对数函数的回顾149

9.1.3 对数函数、指数函数及反函数150

9.1.4 对数法则151

9.2 e的定义153

9.2.1 一个有关复利的例子153

9.2.2 我们的问题的答案154

9.2.3 关于e和对数函数的更多内容156

9.3 对数函数和指数函数求导158

9.4 如何求解涉及指数函数和对数函数的极限161

9.4.1 涉及e的定义的极限161

9.4.2 指数函数在0附近的行为162

9.4.3 对数函数在1附近的行为164

9.4.4 指数函数在∞或-∞附近的行为165

9.4.5 对数函数在∞附近的行为167

9.4.6 对数函数在0附近的行为169

9.5 对数函数求导170

9.6 指数的增长和衰退174

9.6.1 指数增长175

9.6.2 指数衰退176

9.7 双曲函数178

第10章 反函数和反三角函数182

10.1 导数和反函数182

10.1.1 使用导数证明反函数存在182

10.1.2 导数和反函数：可能出现的问题183

10.1.3 求反函数的导数184

10.1.4 一个重要的例子186

10.2 反三角函数188

10.2.1 反正弦函数188

10.2.2 反余弦函数191

10.2.3 反正切函数193

10.2.4 反正割函数195

10.2.5 反余割函数及反余切函数196

10.2.6 计算反三角函数197

10.3 反双曲函数199

第11章 导数和图像203

11.1 函数的极值问题203

11.1.1 全局极值和局部极值203

11.1.2 极值定理204

11.1.3 怎样求全局最大值和全局最小值205

11.2 罗尔定理208

11.3 中值定理210

11.4 二次导数及图像213

11.5 对于导数为零点的分类215

11.5.1 一次导数的应用216

11.5.2 二阶导数的应用217

第12章 如何绘制函数图像220

12.1 怎样建立符号表格220

12.1.1 制作一次导数的符号表格222

12.1.2 制作二次导数的表格223

12.2 绘制函数图像的完全方法225

12.3 例题226

12.3.1 一个不使用导数的例子226

12.3.2 使用完全方法绘制函数图像：例1229

12.3.3 例2230

12.3.4 例3233

12.3.5 例4236

第13章 最优化和线性化240

13.1 最优化问题240

13.1.1 一个简单的最优化例子240

13.1.2 最优化问题：通常的方法241

13.1.3 一个最优化的例子242

13.1.4 另一个最优化的例子244

13.1.5 在最优化问题中使用隐函数的求导方法247

13.1.6 一个较难的最优化例题247

13.2 线性化250

13.2.1 线性化的归纳251

13.2.2 微分253

13.2.3 线性化的总结和例子255

13.2.4 在我们估算过程中的误差256

13.3 牛顿方法258

第14章 洛必达法则及极限问题综述264

14.1 洛必达法则264

14.1.1 类型A:0/0264

14.1.2 类型A:±∞/±∞267

14.1.3 类型B1（∞-∞）268

14.1.4 类型B2（0×±∞）270

14.1.5 类型C（1±∞,00或∞0）271

14.1.6 洛必达法则类型的总结273

14.2 关于极限的总结274

第15章 积分277

15.1 求和符号277

15.1.1 一个有用的求和280

15.1.2 伸缩求和法281

15.2 位移和面积284

15.2.1 三个简单的例子284

15.2.2 一段更常规的旅行286

15.2.3 有正负的面积288

15.2.4 连续的速度289

15.2.5 两个特别的估算292

第16章 定积分295

16.1 基本思想295

16.2 定积分的定义299

16.3 定积分的特性303

16.4 求面积307

16.4.1 求非代数和面积308

16.4.2 求解两条曲线之间的面积310

16.4.3 求曲线与y轴所围成的面积312

16.5 估算积分315

16.6 积分的平均值和中值定理318

16.7 不可积的函数321

第17章 微积分基本定理323

17.1 以其他函数为积分的函数323

17.2 微积分的第一基本定理326

17.3 微积分的第二基本定理330

17.4 不定积分331

17.5 怎样解决问题：微积分第一基本定理333

17.5.1 变形1：变量是积分下限334

17.5.2 变形2：积分上限是一个函数334

17.5.3 变形3：积分上下限都为函数336

17.5.4 变形4：极限伪装成导数337

17.6 怎样解决问题：微积分第二基本定理337

17.6.1 计算不定积分338

17.6.2 计算定积分340

17.6.3 非代数和面积和绝对值343

17.7 技术上的观点346

17.8 微积分第一基本定理的证明347

第18章 积分的方法：第一部分349

18.1 替代法349

18.1.1 换元法和定积分352

18.1.2 怎样决定替代公式355

18.1.3 换元法的理论解释357

18.2 分部积分法358

18.3 部分分式363

18.3.1 部分分式的代数运算363

18.3.2 对每一部分积分367

18.3.3 方法和一个完整的例子369

第19章 积分的方法：第二部分374

19.1 应用三角函数公式的积分374

19.2 关于三角函数的幂的积分377

19.2.1 sin或cos的幂377

19.2.2 tan的幂379

19.2.3 sec的幂380

19.2.4 cot的幂382

19.2.5 csc的幂383

19.2.6 递归公式383

19.3 关于三角换元法的积分385

19.3.1 类型1：？385

19.3.2 类型2：？387

19.3.3 类型3：？388

19.3.4 配方和三角换元法389

19.3.5 关于三角换元法的总结390

19.3.6 平方根的方法和三角换元法390

19.4 积分技巧综述392

第20章 反常积分：基本概念394

20.1 收敛和发散394

20.1.1 关于反常积分的一些例子396

20.1.2 其他的破裂点398

20.2 关于无穷区间的积分399

20.3 比较判别法（理论）401

20.4 极限比较判别法（理论）403

20.4.1 函数互为渐近线403

20.4.2 关于判别法的陈述405

20.5 P判别法（理论）406

20.6 绝对收敛判别法408

第21章 反常积分：如何解题411

21.1 如何开始411

21.1.1 拆分积分411

21.1.2 如何处理负函数值412

21.2 积分判别法总结414

21.3 ∞和-∞附近的常见函数415

21.3.1 ∞和-∞附近的多项式和多项式型函数416

21.3.2 ∞和-∞附近的三角函数418

21.3.3 ∞和-∞附近的指数420

21.3.4 ∞附近的对数423

21.4 常见函数在0附近的情形427

21.4.1 0附近的多项式和多项式型函数427

21.4.2 0附近的三角函数428

21.4.3 0附近的指数函数429

21.4.4 0附近的对数函数431

21.4.5 0附近的更一般函数432

21.5 如何应对不在0或∞处的瑕点433

第22章 数列和级数：基本概念435

22.1 数列的收敛和发散435

22.1.1 数列和函数的联系436

22.1.2 两个重要数列438

22.2 级数的收敛与发散439

22.3 第n项判别法（理论）443

22.4 无穷级数和反常积分的性质444

22.4.1 比较判别法（理论）444

22.4.2 极限比较判别法（理论）445

22.4.3 p判别法（理论）446

22.4.4 绝对收敛判别法447

22.5 级数的新判别法448

22.5.1 比式判别法（理论）448

22.5.2 根式判别法（理论）450

22.5.3 积分判别法（理论）451

22.5.4 交错级数判别法（理论）454

第23章 如何求解级数问题457

23.1 如何求几何级数的值457

23.2 如何应用第n项判别法459

23.3 如何应用比式判别法460

23.4 如何应用根式判别法463

23.5 如何应用积分判别法464

23.6 如何应用比较判别法、极限比较判别法和p判别法466

23.7 如何应对含负项的级数470

第24章 泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论475

24.1 近似值和泰勒多项式475

24.1.1 重访线性化476

24.1.2 二次近似476

24.1.3 高阶近似477

24.1.4 泰勒定理478

24.2 幂级数和泰勒级数481

24.2.1 一般幂级数482

24.2.2 泰勒级数和麦克劳林级数484

24.2.3 泰勒级数的收敛性485

24.3 一个重要极限488

第25章 如何求解估算问题490

25.1 泰勒多项式与泰勒级数总结490

25.2 求泰勒多项式与泰勒级数491

25.3 用误差项估算问题494

25.3.1 第一个例子495

25.3.2 第二个例子497

25.3.3 第三个例子498

25.3.4 第四个例子499

25.3.5 第五个例子501

25.3.6 误差项估算的一般方法502

25.4 误差估算的另一种方法502

第26章 泰勒级数和幂级数：如何解题505

26.1 幂级数的收敛性505

26.1.1 收敛半径505

26.1.2 如何求收敛半径和收敛区域507

26.2 由旧泰勒级数求新泰勒级数511

26.2.1 代换和泰勒级数512

26.2.2 泰勒级数求导514

26.2.3 泰勒级数求积分515

26.2.4 泰勒级数相加和相减517

26.2.5 泰勒级数相乘518

26.2.6 泰勒级数相除519

26.3 利用幂级数和泰勒级数求导520

26.4 利用麦克劳林级数求极限522

第27章 参数方程和极坐标526

27.1 参数方程526

27.2 极坐标531

27.2.1 极坐标与笛卡儿坐标互换532

27.2.2 极坐标系中画曲线534

27.2.3 求极坐标曲线的切线537

27.2.4 求极坐标曲线围成的面积538

第28章 复数541

28.1 基础541

28.2 复平面544

28.3 复数的高次幂547

28.4 解zn=w548

28.5 解ez=w553

28.6 一些三角级数555

28.7 欧拉等式和幂级数557

第29章 体积、弧长和表面积559

29.1 旋转体的体积559

29.1.1 圆盘法560

29.1.2 壳法561

29.1.3 总结和变式563

29.1.4 变式1：区域在曲线和y轴之间563

29.1.5 变式2：两曲线间的区域565

29.1.6 变式3：绕平行于坐标轴的轴旋转567

29.2 一般固体体积569

29.3 长573

29.4 旋转体的表面积577

第30章 微分方程581

30.1 微分方程导论581

30.2 可分离变量的一阶微分方程582

30.3 一阶线性方程584

30.4 常系数微分方程588

30.4.1 解一阶齐次方程589

30.4.2 解二阶齐次方程589

30.4.3 为什么特征二次方程适用590

30.4.4 非齐次方程和特解591

30.4.5 求特解592

30.4.6 求特解的例子593

30.4.7 解决yP和yH间的冲突596

30.4.8 IVP596

30.5 微分方程建模598

附录A 极限及其证明601

A.1 极限的正式定义601

A.1.1 小游戏601

A.1.2 真正的定义603

A.1.3 应用定义的例子604

A.2 由原极限产生新极限605

A.2.1 极限的和与差及证明605

A.2.2 极限的乘积及证明606

A.2.3 极限的商及证明607

A.2.4 三明治定理及证明609

A.3 极限的其他情形609

A.3.1 无穷极限610

A.3.2 左极限与右极限611

A.3.3 在∞及-∞处的极限611

A.3.4 两个涉及三角函数的例子613

A.4 连续与极限615

A.4.1 连续函数的复合615

A.4.2 介值定理的证明617

A.4.3 最大-最小定理的证明618

A.5 重返指数函数和对数函数619

A.6 微分与极限621

A.6.1 数的常数倍622

A.6.2 函数的和与差622

A.6.3 乘积法则的证明622

A.6.4 商法则的证明623

A.6.5 链式求导法则的证明624

A.6.6 极值定理的证明624

A.6.7 罗尔定理的证明625

A.6.8 中值定理的证明625

A.6.9 线性化的误差626

A.6.10 分段函数的导数627

A.6.11 洛必达法则的证明628

A.7 泰勒近似定理的证明630

附录B 估算积分633

B.1 使用条纹估算积分633

B.2 梯形法则636

B.3 辛普森法则638

B.4 近似的误差640

B.4.1 估算误差的例子641

B.4.2 误差项不等式的证明642

符号列表644

索引647