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目录1

第一部分 问 题1

第一章实分析1

1.1初等微积分1

1.2极限与连续性5

1.3序列，级数与乘积6

1.4微分计算9

1.5积分计算12

1.6函数序列14

1.7 Fourier级数19

1.8凸函数20

第二章多元微积分21

2.1极限与连续性21

2.2微分计算22

2.3积分计算27

第三章微分方程29

3.1一阶方程29

3.2二阶方程32

3.3高阶方程33

3.4微分方程组34

第四章度量空间39

4.1Rn的拓扑学39

4.2一般理论41

4.3不动点定理41

第五章复分析43

5.1复数43

5.2函数级数与函数序列44

5.3保形映射46

5.4解析函数的积分表达式47

5.5单位圆盘上的函数48

5.6增长条件50

5.7解析与半纯函数51

5.8Cauchy定理53

5.9零点与奇点54

5.10调和函数57

5.11残数理论58

5.12沿着实轴的积分61

第六章代数65

6.1群的例子和一般理论65

6.2同态和子群66

6.3循环群68

6.4 正规性，商和同态68

6.5 Sn,An,Dn,70

6.6直接积71

6.7自由群，乘积，生成子以及关系71

6.8有限群72

6.9环与它们的同态73

6.10理想74

6.11多项式75

6.12域及其扩张77

6.13初等数论79

第七章线性代数81

7.1向量空间81

7.2秩与行列式82

7.3方程组84

7.4线性变换85

7.5特征值与特征向量87

7.6标准型91

7.7相似性95

7.8双线性型，二次型和内积空间97

7.9矩阵一般理论99

第一章实分析103

1.1初等微积分103

第二部分 题解部分103

1.2极限与连续性115

1.3序列，级数与乘积119

1.4微分计算129

1.5积分计算135

1.6函数序列144

1.7 Fourier级数154

1.8凸函数157

第二章多元微积分159

2.1极限与连续性159

2.2微分计算159

2.3积分计算171

第三章微分方程175

3.1一阶方程175

3.2二阶方程179

3.3高阶方程183

3.4微分方程组184

第四章度量空间190

4.1Rn的拓扑学190

4.2一般理论194

4.3不动点定理197

第五章复分析200

5.1复数200

5.2函数级数与函数序列203

5.3保形映射206

5.4解析函数的积分表达式209

5.5单位圆盘上的函数211

5.6增长条件218

5.7解析与半纯函数220

5.8 Cauchy定理227

5.9零点与奇点233

5.10调和函数243

5.11残数理论244

5.12沿着实轴的积分255

第六章代数278

6.1群的例子和一般理论278

6.2同态和子群279

6.3循环群280

6.4正规性，商和同态281

6.5 Sn,An,Dn,283

6.6直接积285

6.7自由群，乘积，生成子以及关系286

6.8有限群288

6.9环与它们的同态290

6.10理想292

6.11多项式294

6.12域及其扩张299

6.13初等数论303

7.1向量空间308

第七章线性代数308

7.2秩与行列式312

7.3方程组316

7.4线性变换317

7.5特征值与特征向量323

7.6标准型329

7.7相似性340

7.8双线性型，二次型和内积空间343

7.9矩阵一般理论345

第三部分 附 录352

附录A如何参与考试352

A.1在线352

A.2离线352

附录B及格的成绩357

附录C课程概要359

参考文献361