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第一篇 高等数学3

第一章 函数极限连续3

考点与要求3

1 函数3

内容精讲3

一、定义3

二、重要性质、定理、公式5

例题分析6

一、求分段函数的复合函数6

二、由函数的奇偶性与周期性构造函数7

三、求反函数的表达式8

四、关于函数有界（无界）的讨论9

2 极限9

内容精讲9

一、定义9

二、重要性质、定理、公式10

三、计算极限的一些有关方法11

例题分析14

一、求函数的极限14

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限19

三、含有｜x｜，e1/3的x→0时的极限，含有取整函数［x］的x趋于整数时的极限22

四、无穷小的比较22

五、数列的极限24

六、极限运算定理的正确运用27

3 函数的连续与间断30

内容精讲30

一、定义30

二、重要性质、定理、公式31

例题分析31

一、讨论函数的连续与间断31

二、在连续条件下求参数32

三、连续函数的零点问题33

第二章 一元函数微分学34

考点与要求34

1 导数与微分，导数的计算34

内容精讲34

一、定义34

二、重要性质、定理、公式35

例题分析38

一、按定义求一点处的导数38

二、已知f（x）在某点x=x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x=x0处的导数39

三、绝对值函数的导数44

四、由极限式表示的函数的可导性45

五、导数与微分、增量的关系46

六、求导数的计算题46

2 导数的应用48

内容精讲48

一、定义48

二、重要性质、定理、公式与方法49

例题分析50

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论50

二、渐近线53

三、曲率与曲率圆54

四、最大值、最小值问题55

3 中值定理、不等式与零点问题56

内容精讲56

一、重要定理56

二、重要方法57

例题分析59

一、不等式的证明59

二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题63

三、复合函数ψ（x,f（x），f′（x））的零点66

四、复合函数ψ（x,f（x），f′（x），f″（x））的零点67

五、“？中值”问题68

六、零点的个数问题69

七、证明存在某ξ满足某不等式70

八、利用中值定理求极限、f′（x）与f（x）的极限关系71

第三章 一元函数积分学73

考点与要求73

1 不定积分与定积分的概念、性质、理论73

内容精讲73

一、定义73

二、重要性质、定理、公式74

例题分析75

一、分段函数的不定积分与定积分75

二、定积分与原函数的存在性77

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分78

2 不定积分与定积分的计算81

内容精讲81

一、基本积分公式81

二、基本积分方法82

例题分析84

一、简单有理分式的积分84

二、三角函数的有理分式的积分85

三、简单无理式的积分86

四、两种不同类型的函数相乘的积分87

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分88

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分89

七、含参变量带绝对值号的定积分91

八、积分计算杂例92

3 反常积分及其计算94

内容精讲94

一、定义94

二、重要性质、定理、公式95

例题分析96

一、反常积分的计算与反常积分的敛散性96

二、关于奇、偶函数的反常积分98

4 定积分的应用99

内容精讲99

一、基本方法99

二、重要几何公式与物理应用99

例题分析101

一、几何应用101

二、物理应用104

5 定积分的证明题108

内容精讲108

例题分析108

一、讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性等108

二、由积分定义的函数求极限110

三、积分不等式的证明111

四、零点问题117

第四章 多元函数微积分学120

考点与要求120

1 多元函数的极限、连续、偏导数与全微分120

内容精讲120

一、多元函数120

二、二元函数的极限与连续120

三、二元函数的偏导数与全微分121

例题分析123

一、讨论二重极限123

二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性125

三、讨论二元函数的可微性126

2 多元函数的微分法130

内容精讲130

一、复合函数的偏导数与全微分130

二、隐函数的偏导数与全微分132

例题分析132

一、求复合函数的偏导数与全微分132

二、求隐函数的偏导数与全微分140

3 极值与最值144

内容精讲144

一、无条件极值144

二、条件极值145

例题分析145

一、无条件极值问题145

二、条件极值（最值）问题148

三、多元函数的最大（小）值问题149

4 二重积分153

内容精讲153

一、二重积分的定义及几何意义153

二、二重积分的性质153

三、二重积分的计算153

例题分析156

一、计算二重积分156

二、累次积分交换积分次序及计算165

三、与二重积分有关的综合题168

四、与二重积分有关的积分不等式问题171

第五章 常微分方程174

考点与要求174

1 常微分方程174

内容精讲174

一、微分方程的基本概念174

二、常见的几类一阶方程及解法174

三、可降阶的高阶微分方程175

四、高阶线性方程175

例题分析177

一、微分方程求解177

二、微分方程的综合题183

三、微分方程的应用186

第二篇 线性代数191

第一章 行列式191

考点与要求191

内容精讲191

例题分析194

一、数字型行列式的计算194

二、抽象型行列式的计算200

三、行列式｜A｜是否为零的判定202

四、关于代数余子式求和202

第二章 矩阵205

考点与要求205

内容精讲205

1 矩阵的概念及运算205

一、矩阵的概念205

二、矩阵的运算206

三、矩阵的运算规则206

四、特殊矩阵207

2 可逆矩阵208

一、可逆矩阵的概念208

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件208

三、逆矩阵的运算性质208

四、求逆矩阵的方法208

3 初等变换、初等矩阵209

一、定义209

二、初等矩阵与初等变换的性质209

4 矩阵的秩210

一、矩阵秩的概念210

二、矩阵秩的公式210

5 分块矩阵211

一、分块矩阵的概念211

二、分块矩阵的运算211

例题分析212

一、矩阵的概念及运算212

二、特殊方阵的幂216

三、伴随矩阵的相关问题218

四、可逆矩阵的相关问题221

五、初等变换、初等矩阵224

六、矩阵秩的计算225

第三章 向量230

考点与要求230

内容精讲230

1 n维向量的概念与运算230

2 线性表出、线性相关231

3 极大线性无关组、秩232

4 Schrnidt正交化、正交矩阵233

例题分析233

一、线性相关的判别233

二、向量的线性表示234

三、线性相关与线性无关的证明236

四、秩与极大线性无关组239

五、正交化、正交矩阵241

第四章 线性方程组243

考点与要求243

内容精讲243

1 克拉默法则243

2 齐次线性方程组243

3 非齐次线性方程组245

例题分析246

一、线性方程组的基本概念题246

二、线性方程组的求解249

三、基础解系255

四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A257

五、线性方程组系数列向量与解向量的关系258

六、两个方程组的公共解260

七、同解方程组261

八、线性方程组的有关杂题263

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵266

考点与要求266

内容精讲266

1 特征值、特征向量266

一、定义266

二、特征值的性质266

三、求特征值、特征向量的方法267

2 相似矩阵、矩阵的相似对角化267

一、定义267

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件267

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件268

3 实对称矩阵的相似对角化268

一、定义268

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化268

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤268

例题分析269

一、特征值、特征向量的求法269

二、两个矩阵有相同的特征值的证明273

三、关于特征向量及其他给出特征值特征向量的方法274

四、矩阵是否相似于对角阵275

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数277

六、由特征值、特征向量反求A278

七、矩阵相似及相似标准形279

八、相似对角阵的应用284

第六章 二次型288

考点与要求288

内容精讲288

1 二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵288

一、二次型概念288

二、二次型的矩阵表示288

2 化二次型为标准形、规范形合同二次型289

一、定义289

3 正定二次型、正定矩阵290

一、定义290

例题分析291

一、二次型的矩阵表示291

二、化二次型为标准形、规范形292

三、合同矩阵、合同二次型298

四、正定性的判别301

五、正定二次型的证明305

六、综合题306