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第1章 现代数值分析引论1

1.1 数值分析的研究对象1

1.2 数值算法的基本概念1

1.3 误差的基本理论2

1.3.1 误差的来源2

1.3.2 绝对误差和相对误差3

1.3.3 近似数的有效数字4

1.4 数值算法设计的若干原则6

习题19

第2章 非线性方程的求根方法11

2.1 二分法11

2.1.1 二分法及其收敛性11

2.1.2 二分法的MATLAB程序13

2.2 迭代法的基本理论14

2.2.1 迭代法的基本思想14

2.2.2 收敛性和误差分析16

2.3 迭代法的加速技巧20

2.3.1 迭代法加速的基本思想20

2.3.2 Aitken加速公式21

2.4 牛顿法23

2.4.1 牛顿法及其收敛性23

2.4.2 牛顿法的MATLAB程序25

2.4.3 重根情形的牛顿法加速26

2.5 割线法27

2.5.1 割线法的迭代公式27

2.5.2 割线法的MATLAB程序28

2.6 方程求根的MATLAB解法29

2.6.1 MATLAB函数fzero29

2.6.2 MATLAB函数fsolve30

习题231

第3章 线性方程组的直接解法34

3.1 高斯消去法34

3.1.1 顺序高斯消去法及其MATLAB程序34

3.1.2 列主元高斯消去法及其MATLAB程序39

3.2 LU分解法42

3.2.1 一般LU分解及其MATLAB程序42

3.2.2 列主元LU分解及其MATLAB程序46

3.3 两类特殊方程组的解法51

3.3.1 对称正定方程组的乔列斯基法51

3.3.2 三对角线性方程组的追赶法54

3.4 直接法的舍入误差分析57

3.4.1 向量范数和矩阵范数57

3.4.2 舍入误差对解的影响59

3.5 线性方程组的MATLAB解法61

3.5.1 利用左除运算符求解线性方程组61

3.5.2 利用矩阵求逆函数解线性方程组62

3.5.3 利用矩阵LU分解函数解线性方程组63

3.5.4 利用乔列斯基分解函数解对称正定方程组63

习题364

第4章 线性方程组的迭代解法67

4.1 迭代法的一般理论67

4.1.1 迭代公式的构造67

4.1.2 迭代法的收敛性和误差估计68

4.2 三种经典迭代法70

4.2.1 雅可比迭代法及其MATLAB程序70

4.2.2 高斯一赛德尔迭代法及其MATLAB程序72

4.2.3 逐次超松弛迭代法及其MATLAB程序74

4.2.4 三种经典迭代法的收敛条件76

4.3 现代变分迭代法81

4.3.1 最速下降法及其MATLAB程序81

4.3.2 共轭梯度法及其MATLAB程序85

4.3.3 广义极小残量法及其MATLAB程序89

4.3.4 预处理技术及预处理共轭梯度法94

习题495

第5章 插值法与最小二乘拟合99

5.1 插值法的基本理论99

5.1.1 插值多项式的概念99

5.1.2 插值基函数100

5.1.3 插值多项式的截断误差100

5.2 拉格朗日插值法101

5.2.1 拉格朗日插值基函数101

5.2.2 拉格朗日插值及其MATLAB程序102

5.3 牛顿插值法104

5.3.1 差商及其性质104

5.3.2 牛顿插值公式106

5.3.3 牛顿插值法的MATLAB程序108

5.4 厄尔米特插值及分段插值109

5.4.1 两点三次厄尔米特插值109

5.4.2 高阶插值的Runge现象110

5.4.3 分段线性插值及其MATLAB程序112

5.4.4 分段三次厄尔米特插值113

5.5 三次样条插值法114

5.5.1 三次样条插值函数114

5.5.2 三次样条插值的MATLAB程序118

5.6 曲线拟合的最小二乘法120

5.6.1 最小二乘法120

5.6.2 法方程组122

5.6.3 多项式拟合的MATLAB程序125

5.6.4 正交最小二乘拟合126

5.7 插值和拟合的MATLAB解法127

5.7.1 数据插值的MATLAB函数127

5.7.2 曲线拟合的MATLAB函数130

习题5131

第6章 数值积分和数值微分134

6.1 几个常用的求积公式134

6.1.1 插值型求积公式134

6.1.2 代数精度136

6.1.3 几个常用的求积公式137

6.2 复化求积公式139

6.2.1 复化中点公式及其MATLAB程序140

6.2.2 复化梯形公式及其MATLAB程序142

6.2.3 复化辛普森公式及其MATLAB程序144

6.3 外推加速技术与龙贝格求积公式146

6.3.1 变步长梯形算法及其MATLAB程序146

6.3.2 外推法与龙贝格求积公式148

6.3.3 龙贝格加速公式的MATLAB程序150

6.4 高斯型求积公式及其MATLAB实现151

6.4.1 高斯型求积公式151

6.4.2 高斯公式的MATLAB程序154

6.5 数值微分法155

6.5.1 插值型求导公式155

6.5.2 两点公式和三点公式156

6.6 数值微积分的MATLAB解法158

6.6.1 数值积分的MATLAB函数158

6.6.2 数值微分的MATLAB函数161

习题6162

第7章 矩阵特征值问题的数值方法165

7.1 矩阵的有关理论165

7.2 乘幂法167

7.2.1 乘幂法及其MATLAB程序167

7.2.2 乘幂法的加速技术171

7.2.3 反幂法及其MATLAB程序173

7.3 雅可比方法176

7.3.1 实对称矩阵的旋转正交相似变换176

7.3.2 雅可比方法及其收敛性178

7.3.3 雅可比方法的MATLAB实现181

7.4 QR方法182

7.4.1 Householder变换182

7.4.2 化一般矩阵为上Hessenberg矩阵184

7.4.3 上Hessenberg矩阵的QR分解187

7.4.4 基本QR方法及其MATLAB程序191

7.5 特征值问题的MATLAB解法193

习题7194

第8章 常微分方程的数值解法197

8.1 欧拉方法及其改进197

8.1.1 欧拉公式和隐式欧拉公式197

8.1.2 欧拉公式的改进199

8.1.3 改进欧拉公式的MATLAB程序201

8.2 龙格-库塔公式202

8.2.1 龙格-库塔法的基本思想202

8.2.2 龙格-库塔公式203

8.2.3 龙格-库塔法的MATLAB程序205

8.3 收敛性与稳定性205

8.3.1 收敛性分析206

8.3.2 绝对稳定性209

8.4 亚当斯方法210

8.4.1 几个常用亚当斯公式的推导210

8.4.2 四阶亚当斯公式的MATLAB程序213

8.5 一阶微分方程组和高阶微分方程215

8.5.1 一阶常微分方程组215

8.5.2 高阶常微分方程219

8.6 常微分方程的MATLAB解法220

习题8222

第9章 蒙特卡洛方法简介226

9.1 蒙特卡洛方法的基本原理226

9.1.1 蒙特卡洛方法与随机模拟实验226

9.1.2 概率论的相关基础理论227

9.1.3 蒙特卡洛方法的基本特征230

9.2 随机数与随机变量的抽样232

9.3 蒙特卡洛方法的应用实例234

9.3.1 用蒙特卡洛方法求解非线性方程组234

9.3.2 用蒙特卡洛方法求解非线性规划235

9.3.3 用蒙特卡洛方法计算定积分和重积分237

习题9242

附录A 数值实验244

A.1 数值实验报告的格式244

A.2 数值实验245

附录B 习题参考答案及提示252

参考文献260