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第1章 分数阶微积分理论在国内外研究现状1

1.1 分数阶微积分理论的发展1

1.2 分数阶微积分的应用4

1.3 本书的主要内容8

第2章 分数阶微积分基本理论10

2.1 特殊函数及其性质10

2.1.1 Gamma函数10

2.1.2 Beta函数的定义11

2.1.3 其他特殊函数12

2.2 分数阶微积分的定义12

2.2.1 Riemann-Liouville分数阶微积分12

2.2.2 Grumwald-Letnikov分数阶微积分14

2.2.3 Caputo分数阶微积分16

2.3 分数阶微积分基本定义间的关系16

2.4 分数阶微积分的性质17

2.5 分数阶微积分的物理意义和几何意义19

2.6 偏微分方程理论20

2.6.1 偏微分方程的基本概念20

2.6.2 偏微分方程的数值计算方法22

2.7 分数阶偏微分方程25

2.7.1 分数阶偏微分方程的概念25

2.7.2 分数阶偏微分方程的数值计算方法26

2.8 变分法27

2.8.1 泛函概念27

2.8.2 泛函极值28

第3章 Riemann-Liouville分数阶图像增强算法及其电路实现31

3.1 引言31

3.2 分数阶微分理论分析32

3.3 数字图像的分数阶微分视觉模型33

3.4 数字图像的分数阶微分增强算法34

3.4.1 第一增强算法34

3.4.2 第二增强算法40

3.5 图像增强实验仿真及结果分析41

3.5.1 灰度图像的增强42

3.5.2 RGB彩色图像的增强46

3.5.3 HSI彩色图像的增强49

3.6 图像的分数阶微分增强电路构造51

3.6.1 电路构造52

3.6.2 仿真实验54

第4章 基于分数阶Euler-Lagrange方程的图像增强算法57

4.1 引言57

4.2 分数阶微积分理论分析58

4.3 分数阶Eul er-Lagrange方程及其离散化59

4.3.1 分数阶Euler-Lagrange方程60

4.3.2 数值计算60

4.4 数字图像的分数阶Euler-Lagrange增强63

4.5 实验及分析64

4.5.1 灰度图像的增强65

4.5.2 彩色图像的增强71

第5章 基于Caputo定义的分数阶图像增强78

5.1 引言78

5.2 Caputo分数阶微分理论分析79

5.3 数字图像分数阶对比度增强算法80

5.3.1 分数阶对比度增强模板构造80

5.3.2 与其他微分算子的关系81

5.4 实验及仿真82

5.4.1 不同微分阶次下的增强对比82

5.4.2 灰度图像的增强83

5.4.3 彩色图像增强对比85

5.5 结论86

第6章 非整数步长分数阶微分的图像增强88

6.1 引言88

6.2 分数阶微分对信号的作用89

6.2.1 分数阶微分算子的幅频特性89

6.2.2 基本信号的分数阶微分运算90

6.3 插值方法93

6.4 非整数步长的分数阶微分滤波器的数学原理94

6.5 二维非整数步长分数阶微分滤波器的构造及其数值运算规则96

6.6 实验及理论分析99

6.6.1 灰度图像的实验99

6.6.2 彩色图像的实验102

第7章 可变阶次分数阶微分实现图像自适应增强和去噪106

7.1 引言106

7.2 分数阶微积分的统一描述及对信号的作用106

7.2.1 分数阶微积分的统一描述106

7.2.2 分数阶微积分算子对信号的作用109

7.3 自适应函数的建立109

7.4 自适应分数阶微分滤波器的构造及其数值运算规则111

7.5 实验及理论分析114

7.5.1 无噪声灰度图像增强实验114

7.5.2 含噪声灰度图像增强实验116

7.5.3 无噪声彩色图像增强实验117

第8章 分数阶积分滤波器的构造及在图像去噪中的应用119

8.1 引言119

8.2 分数阶积分对信号的作用120

8.3 分数阶积分算子的构造及其数值运算规则121

8.3.1 G-L分数阶积分算子121

8.3.2 R-L分数阶积分算子124

8.4 实验及理论分析126

8.4.1 G-L分数阶积分算子126

8.4.2 R-L分数阶积分算子136

第9章 基于空间分数阶偏微分方程的图像去噪模型143

9.1 引言143

9.2 基于整数阶偏微分方程的图像去噪模型144

9.2.1 公理性偏微分方程在图像去噪中的应用144

9.2.2 变分法在图像去噪中的应用147

9.2.3 几何偏微分方程在图像去噪中的应用149

9.3 基于分数阶偏微分方程的图像去噪模型的构建151

9.3.1 分数阶BV空间152

9.3.2 基于分数阶Fourier变换的图像去噪模型154

9.3.3 基于分数阶基本定义的图像去噪模型156

9.4 实验及理论分析157

第10章 基于时间—空间分数阶偏微分方程的图像去噪模型162

10.1 引言162

10.2 基于空间分数阶偏微分方程的图像去噪模型的改进163

10.2.1 边缘停止函数163

10.2.2 改进模型164

10.3 时间—空间分数阶偏微分方程图像去噪模型165

10.3.1 梯度下降流165

10.3.2 时间—空间分数阶偏微分方程图像去噪模型的构建171

10.4 实验及理论分析174

参考文献186