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第一章 行列式1

1.1 二阶与三阶行列式1

1.1.1 二阶行列式1

1.1.2 三阶行列式2

习题1.14

1.2 n阶行列式5

1.2.1 全排列及其奇偶性5

1.2.2 n阶行列式的定义7

习题1.29

1.3 行列式的性质10

习题1.314

1.4 行列式按行（列）展开15

1.4.1 行列式按行（列）展开定理15

1.4.2 计算行列式举例20

习题1.425

1.5 拉普拉斯展开定理27

习题1.532

1.6 克莱姆法则33

习题1.636

第一章 补充例题36

第一章 补充习题40

第二章 矩阵42

2.1 矩阵及其运算42

2.1.1 矩阵的概念42

2.1.2 矩阵的线性运算44

2.1.3 矩阵的乘法45

2.1.4 矩阵的乘方49

2.1.5 矩阵的转置51

2.1.6 对称矩阵、反对称矩阵与正交矩阵52

习题2.153

2.2 分块矩阵55

2.2.1 分块矩阵的概念55

2.2.2 分块矩阵的运算56

习题2.261

2.3 方阵的行列式与逆矩阵63

2.3.1 方阵的行列式63

2.3.2 伴随矩阵64

2.3.3 逆矩阵65

习题2.369

2.4 初等变换与初等矩阵71

2.4.1 矩阵的初等变换71

2.4.2 初等矩阵73

2.4.3 用初等变换求逆矩阵77

2.4.4 分块初等变换与分块初等矩阵79

习题2.481

2.5 矩阵的秩83

2.5.1 矩阵秩的概念83

2.5.2 矩阵秩的计算84

2.5.3 矩阵秩的性质86

习题2.589

第二章 补充例题90

第二章 补充习题95

第三章 线性方程组98

3.1 线性方程组的解98

习题3.1104

3.2 n维向量空间105

3.2.1 数域105

3.2.2 n维向量空间106

3.2.3 子空间107

习题3.2108

3.3 向量组的线性相关性108

3.3.1 向量的线性表示108

3.3.2 向量组的线性相关性111

习题3.3116

3.4 向量组的秩117

3.4.1 极大无关组与向量组的秩117

3.4.2 基、维数与坐标121

习题3.4122

3.5 线性方程组解的结构123

3.5.1 齐次方程组解的结构124

3.5.2 非齐次方程组解的结构126

习题3.5129

第三章 补充例题129

第三章 补充习题133

第四章 多项式136

4.1 一元多项式136

4.1.1 一元多项式的概念136

4.1.2 多项式的运算136

习题4.1137

4.2 多项式的整除性138

4.2.1 带余除法138

4.2.2 多项式的整除性141

习题4.2143

4.3 最大公因式144

4.3.1 最大公因式144

4.3.2 多项式互素148

习题4.3150

4.4 因式分解定理151

4.4.1 不可约多项式151

4.4.2 因式分解定理152

习题4.4155

4.5 重因式156

4.5.1 重因式156

4.5.2 多项式函数158

习题4.5160

4.6 复数域和实数域上的多项式161

4.6.1 复数域上的多项式161

4.6.2 实数域上的多项式162

习题4.6164

4.7 有理数域上的多项式164

习题4.7169

第四章 补充例题169

第四章 补充习题171

第五章 线性空间172

5.1 线性空间172

5.1.1 线性空间的定义172

5.1.2 线性空间的简单性质173

习题5.1174

5.2 基、维数和坐标174

5.2.1 基与维数174

5.2.2 向量的坐标176

5.2.3 基变换与坐标变换177

习题5.2180

5.3 线性子空间181

5.3.1 线性子空间的定义181

5.3.2 子空间的和与交183

5.3.3 子空间的直和186

习题5.3189

5.4 线性空间的同构190

5.4.1 集合的映射190

5.4.2 同构映射192

习题5.4195

第五章 补充例题196

第五章 补充习题199

第六章 线性变换201

6.1 线性变换201

6.1.1 线性变换的定义201

6.1.2 线性变换的性质202

习题6.1204

6.2 线性变换的运算204

6.2.1 线性变换的加法与数量乘法204

6.2.2 线性变换的乘法205

6.2.3 线性变换的幂与多项式206

6.2.4 线性变换的逆207

习题6.2208

6.3 线性变换的矩阵209

6.3.1 线性变换的矩阵209

6.3.2 线性变换空间与矩阵空间同构211

6.3.3 线性变换在两个基下的矩阵214

习题6.3217

6.4 特征值与特征向量218

6.4.1 特征值与特征向量的概念219

6.4.2 特征值与特征向量的求法219

6.4.3 特征多项式的性质224

习题6.4227

6.5 矩阵的相似对角化228

6.5.1 相似矩阵的性质228

6.5.2 矩阵的相似对角化230

习题6.5235

6.6 线性变换的值域与核236

习题6.6240

6.7 不变子空间241

6.7.1 不变子空间的概念241

6.7.2 不变子空间的性质242

习题6.7245

第六章 补充例题245

第六章 补充习题251

第七章 矩阵相似标准形253

7.1 λ矩阵253

7.1.1 λ矩阵253

7.1.2 λ矩阵的初等变换254

7.1.3 行列式因子255

7.1.4 λ矩阵的标准形257

习题7.1260

7.2 不变因子和初等因子261

7.2.1 不变因子261

7.2.2 初等因子262

习题7.2268

7.3 矩阵相似的条件269

习题7.3273

7.4 约当标准形273

习题7.4276

7.5 有理标准形277

习题7.5280

7.6 最小多项式280

习题7.6286

第七章 补充例题287

第七章 补充习题291

第八章 欧氏空间294

8.1 欧氏空间的概念294

8.1.1 内积与欧氏空间294

8.1.2 度量矩阵与同构映射298

习题8.1299

8.2 标准正交基301

8.2.1 正交向量组301

8.2.2 标准正交基304

习题8.2306

8.3 正交矩阵与正交变换307

8.3.1 正交矩阵307

8.3.2 正交变换310

习题8.3312

8.4 对称变换与实对称矩阵313

8.4.1 对称变换313

8.4.2 实对称矩阵的正交对角化314

习题8.4318

8.5 子空间的正交性319

8.5.1 子空间的正交性319

8.5.2 最小二乘法322

习题8.5324

第八章 补充例题324

第八章 补充习题327

第九章 二次型330

9.1 二次型与矩阵合同330

9.1.1 二次型的概念330

9.1.2 线性变换与矩阵合同331

习题9.1336

9.2 二次型的标准形337

9.2.1 用初等合同变换法化二次型为标准形338

9.2.2 用配方法化二次型为标准形339

9.2.3 用正交变换法化二次型为标准形341

9.2.4 二次曲面（线）方程的化简343

习题9.2345

9.3 正定二次型345

9.3.1 二次型的规范形345

9.3.2 正定二次型348

习题9.3356

第九章 补充例题357

第九章 补充习题360

第十章 MATLAB应用简介362

10.1 MATLAB入门362

10.1.1 基本操作362

10.1.2 常用数学函数365

10.1.3 关系运算366

10.2 简单程序设计367

10.2.1 程序结构367

10.2.2 程序设计举例368

10.3 MATLAB在矩阵运算中的应用373

10.3.1 基本矩阵运算函数373

10.3.2 应用举例377

10.4 MATLAB在多项式运算中的应用381

10.4.1 算术运算381

10.4.2 求值与求根382

10.4.3 求导函数383

10.4.4 求最大公因式与最小公倍式384

附录一 数学归纳法386

习题A1389

附录二 复数及其运算390

习题A2395

附录三 数学家人名对照396

附录四 希腊字母读音表397

习题答案398

参考文献421