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第一篇 一元函数微分学3

第1章 函数、极限与连续3

1.1 函数3

1.1.1 集合、区间及邻域3

1.1.2 函数5

1.1.3 反函数9

1.1.4 初等函数10

习题1.116

1.2 数列的极限18

习题1.223

1.3 函数的极限24

1.3.1 自变量趋于无穷时函数的极限24

1.3.2 自变量趋于有限值时函数的极限25

1.3.3 函数极限的性质28

习题1.330

1.4 极限运算法则30

1.4.1 无穷小与无穷大31

1.4.2 极限运算法则33

习题1.437

1.5 极限存在准则与两个重要极限38

1.5.1 夹逼准则39

1.5.2 单调有界收敛准则41

1.5.3 柯西收敛准则44

习题1.544

1.6 无穷小的比较45

习题1.649

1.7 连续函数50

1.7.1 函数的连续性50

1.7.2 函数的间断点52

1.7.3 连续函数的运算54

1.7.4 闭区间上连续函数的性质56

习题1.759

总习题一60

本章数学实验62

第2章 导数与微分65

2.1 导数的概念65

2.1.1 导数的定义65

2.1.2 求导数举例67

2.1.3 导数的几何意义69

2.1.4 可导与连续的关系70

习题2.171

2.2 求导数的运算法则72

2.2.1 求导数的四则运算法则72

2.2.2 复合函数的求导公式74

2.2.3 反函数的求导法则77

2.2.4 初等函数的求导问题79

2.2.5 高阶导数81

2.2.6 隐函数求导法85

2.2.7 由参数方程确定的函数求导法则87

2.2.8 相关变化率问题90

习题2.290

2.3 微分93

2.3.1 微分的定义93

2.3.2 可微与可导的关系，微分的几何意义93

2.3.3 微分的运算法则95

2.3.4 微分在近似计算中的应用96

习题2.397

总习题二98

本章数学实验100

第3章 微分中值定理与导数应用103

3.1 微分中值定理103

3.1.1 函数的极值及其必要条件103

3.1.2 微分中值定理104

习题3.1110

3.2 洛必达法则111

习题3.2116

3.3 泰勒公式117

3.3.1 泰勒定理117

3.3.2 几个常用的麦克劳林公式121

习题3.3123

3.4 函数性态的研究124

3.4.1 函数的单调性124

3.4.2 函数的极值127

3.4.3 函数的最大（小）值131

3.4.4 函数的凹凸性133

3.4.5 函数图形的渐近线136

3.4.6 利用导数作函数的图形137

习题3.4139

3.5 曲率与曲率圆141

3.5.1 弧微分141

3.5.2 平面曲线的曲率142

3.5.3 曲率圆与曲率半径144

习题3.5145

总习题三145

本章数学实验147

第二篇 一元函数积分学151

第4章 不定积分151

4.1 原函数与不定积分的概念151

4.1.1 原函数与不定积分151

4.1.2 基本积分表154

4.1.3 不定积分的线性性质155

习题4.1157

4.2 换元积分法157

4.2.1 第一类换元法157

4.2.2 第二类换元法163

习题4.2166

4.3 分部积分法167

习题4.3173

4.4 特殊函数的不定积分173

4.4.1 有理函数的积分173

4.4.2 三角函数有理式的积分176

4.4.3 简单无理函数的积分177

4.4.4 一些不能用初等函数表示的积分179

习题4.4179

总习题四180

本章数学实验181

第5章 定积分183

5.1 定积分概念183

5.1.1 引出定积分概念的典型例题183

5.1.2 定积分定义185

5.1.3 定积分存在的充分条件186

习题5.1187

5.2 定积分的性质187

习题5.2190

5.3 定积分与原函数的关系 微积分基本定理191

5.3.1 积分上限的函数及其导数191

5.3.2 牛顿-莱布尼茨公式194

习题5.3195

5.4 定积分的换元法196

习题5.4200

5.5 定积分的分部积分法201

习题5.5203

5.6 反常积分 Γ函数203

5.6.1 无穷区间上的反常积分203

5.6.2 无界函数的反常积分204

5.6.3 Γ函数206

习题5.6207

总习题五208

本章数学实验209

第6章 定积分的应用212

6.1 定积分的微元法212

6.2 定积分的几何应用213

6.2.1 平面图形的面积213

6.2.2 体积216

习题6.2220

6.3 定积分的物理应用221

6.3.1 变力沿直线做的功221

6.3.2 液体的压力223

习题6.3224

6.4 平均值225

习题6.4226

总习题六226

本章数学实验227

第三篇 空间解析几何初步233

第7章 向量代数与空间解析几何初步233

7.1 向量及其线性运算233

7.1.1 向量的基本概念233

7.1.2 向量的加法与减法234

7.1.3 向量与数量的乘积235

习题7.1237

7.2 空间直角坐标系与向量的坐标237

7.2.1 空间直角坐标系237

7.2.2 向量的坐标238

7.2.3 向量加减法及数乘运算的坐标表示241

7.2.4 向量的模与方向余弦的坐标表示242

习题7.2243

7.3 数量积 向量积 混合积244

7.3.1 向量的数量积244

7.3.2 向量的向量积247

7.3.3 向量的混合积250

习题7.3251

7.4 平面及其方程252

7.4.1 平面方程252

7.4.2 两平面的位置关系255

7.4.3 点到平面的距离256

习题7.4257

7.5 空间直线及其方程257

7.5.1 空间直线的方程257

7.5.2 两直线的位置关系260

7.5.3 直线与平面的位置关系261

习题7.5262

7.6 空间曲面与空间曲线简介263

7.6.1 空间曲面及其方程264

7.6.2 柱面265

7.6.3 旋转曲面267

7.6.4 空间曲线及其方程270

7.6.5 空间曲线在坐标面上的投影273

7.6.6 曲面的参数方程274

7.6.7 锥面275

习题7.6276

7.7 二次曲面277

7.7.1 椭球面277

7.7.2 双曲面279

7.7.3 抛物面281

习题7.7283

总习题七284

参考文献286

附录A 几种常用的曲线287

附录B Mathematica简介290