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第1章 函数与极限1

1.1函数1

1.1.1数集与邻域1

1.1.2函数的概念2

1.1.3函数的表示法4

1.1.4函数的特性5

1.1.5初等函数8

1.1.6双曲函数与反双曲函数9

习题1.111

1.2数列的极限13

1.2.1数列的概念13

1.2.2极限思想概述14

1.2.3数列极限的定义15

1.2.4数列极限的性质17

习题1.219

1.3函数的极限19

1.3.1函数极限的定义19

1.3.2函数极限的性质23

习题1.325

1.4无穷小与无穷大25

1.4.1无穷小与无穷大的定义25

1.4.2无穷小与无穷大的关系27

1.4.3无穷小与函数极限的关系28

1.4.4无穷小的性质28

习题1.429

1.5极限运算法则30

1.5.1极限的四则运算法则30

1.5.2复合函数的极限运算法则36

习题1.537

1.6极限存在准则两个重要极限38

1.6.1极限存在准则38

1.6.2两个重要极限40

习题1.644

1.7无穷小的比较45

习题1.748

1.8函数的连续性和间断点49

1.8.1函数连续的概念49

1.8.2连续函数的运算性质51

1.8.3初等函数的连续性52

1.8.4函数的间断点及其分类53

习题1.855

1.9闭区间上连续函数的性质56

习题1.958

总习题159

阅读材料极限思想的产生发展与完善61

第2章 导数与微分65

2.1导数的概念65

2.1.1引例65

2.1.2导数的定义66

2.1.3按定义求导数举例69

2.1.4导数的几何意义70

2.1.5可导与连续的关系71

习题2.172

2.2基本导数公式与函数的求导法则73

2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则73

2.2.2反函数的求导法则75

2.2.3基本导数公式76

2.2.4复合函数的求导法则77

2.2.5分段函数的求导法79

习题2.280

2.3高阶导数82

2.3.1高阶导数的概念82

2.3.2高阶导数的求法83

习题2.385

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率86

2.4.1隐函数的求导方法86

2.4.2幂指函数及“乘积型”复杂函数的求导方法87

2.4.3由参数方程所确定的函数的求导法则88

2.4.4相关变化率89

习题2.491

2.5函数的微分92

2.5.1微分的定义92

2.5.2可导与可微的关系93

2.5.3微分的几何意义94

2.5.4基本微分公式与微分的运算法则95

2.5.5微分在近似计算中的应用96

习题2.598

总习题2100

阅读材料 笛卡儿——近代科学的始祖102

第3章 微分中值定理及导数的应用105

3.1微分中值定理105

3.1.1罗尔定理105

3.1.2拉格朗日中值定理107

3.1.3柯西中值定理109

习题3.1111

3.2洛必达法则112

3.2.1 0/0型及∞/∞型未定式113

3.2.2其他类型未定式116

习题3.2118

3.3泰勒公式与麦克劳林公式119

3.3.1泰勒公式119

3.3.2几个函数的麦克劳林公式122

习题3.3125

3.4函数的单调性和极值125

3.4.1函数的单调性判定125

3.4.2函数的极值及其求法128

3.4.3最大值 最小值132

习题3.4135

3.5曲线的凹凸性与拐点136

习题3.5139

3.6函数图形的描绘140

3.6.1曲线的渐近线140

3.6.2函数图形的描绘142

习题3.6144

3.7曲率145

3.7.1弧微分145

3.7.2曲率的定义及计算146

3.7.3曲率圆与曲率中心149

3.7.4曲率中心的计算 渐屈线与渐伸线150

习题3.7152

3.8方程的近似解152

3.8.1二分法153

3.8.2牛顿切线法155

习题3.8157

总习题3157

阅读材料 拉格朗日——高耸在数学世界的金字塔159

第4章 不定积分161

4.1不定积分的概念与性质161

4.1.1原函数与不定积分的概念161

4.1.2不定积分的性质164

4.1.3基本积分公式164

习题4.1167

4.2换元积分法168

4.2.1第一类换元法168

4.2.2第二类换元法175

习题4.2181

4.3分部积分法183

习题4.3186

4.4有理函数与三角有理式的积分187

4.4.1有理函数的积分187

4.4.2三角有理式的积分191

习题4.4192

总习题4193

阅读材料 数学大师欧拉194

第5章 定积分197

5.1定积分的概念与性质197

5.1.1定积分问题举例197

5.1.2定积分的定义199

5.1.3定积分的几何意义201

5.1.4定积分的近似计算203

5.1.5定积分的性质206

习题5.1210

5.2微积分基本公式212

5.2.1变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系212

5.2.2积分上限的函数及其导数213

5.2.3牛顿-莱布尼茨公式215

习题5.2220

5.3定积分的换元法和分部积分法221

5.3.1定积分的换元法222

5.3.2定积分的分部积分法228

习题5.3230

5.4反常积分232

5.4.1无穷限的反常积分232

5.4.2无界函数的反常积分235

5.4.3 Г函数238

习题5.4240

总习题5241

阅读材料 微积分的酝酿与诞生244

第6章 定积分的应用248

6.1定积分的微元法248

6.2定积分在几何学上的应用250

6.2.1平面图形的面积250

6.2.2体积255

6.2.3平面曲线的弧长261

6.2.4旋转曲面的表面积263

习题6.2264

6.3定积分在物理学上的应用266

6.3.1变力沿直线所做的功266

6.3.2液体的压力269

6.3.3引力271

习题6.3273

总习题6273

阅读材料心形线——笛卡儿爱情的传说275

第7章 无穷级数278

7.1常数项级数的概念与性质278

7.1.1常数项级数的概念278

7.1.2常数项级数的基本性质281

7.1.3柯西审敛原理285

习题7.1286

7.2常数项级数的审敛法286

7.2.1正项级数及其审敛法287

7.2.2交错级数及其审敛法294

7.2.3绝对收敛与条件收敛296

习题7.2299

7.3幂级数300

7.3.1函数项级数的一般概念300

7.3.2幂级数及其收敛域302

7.3.3幂级数的运算与性质306

习题7.3310

7.4函数展开成幂级数310

7.4.1泰勒级数310

7.4.2函数展开成幂级数的方法313

习题7.4319

7.5函数幂级数展开式的应用319

习题7.5323

7.6傅里叶级数323

7.6.1三角级数、三角函数系的正交性323

7.6.2函数展开成傅里叶级数324

7.6.3正弦级数和余弦级数328

习题7.6331

7.7一般周期函数的傅里叶级数332

习题7.7335

总习题7336

阅读材料 数学史上一颗闪耀的流星——天才数学家阿贝尔338

附录343

附录A反三角函数简介343

附录B几种常见的曲线345

附录C积分表348

部分习题答案与提示357

参考文献388