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第7章 空间解析几何与向量代数1

7.1空间直角坐标系1

7.1.1空间点的直角坐标1

7.1.2两点间的距离4

习题7.15

7.2向量及其线性运算5

7.2.1向量的概念5

7.2.2向量的加法6

7.2.3向量的数乘7

7.2.4向量的坐标表示9

习题7.212

7.3向量的数量积12

7.3.1两向量的数量积12

7.3.2方向角和方向余弦15

习题7.317

7.4向量的向量积18

7.4.1两向量的向量积18

7.4.2向量的混合积21

习题7.422

7.5曲面及其方程23

7.5.1球面24

7.5.2柱面26

7.5.3旋转曲面28

习题7.530

7.6空间曲线及其方程31

7.6.1空间曲线的一般方程31

7.6.2空间曲线的参数方程33

7.6.3空间曲线在坐标平面内的投影曲线35

习题7.638

7.7平面39

7.7.1平面的点法式方程39

7.7.2平面的一般式方程41

7.7.3平面的截距式方程43

7.7.4两平面的夹角44

7.7.5点到平面的距离45

习题7.746

7.8空间直线47

7.8.1空间直线的一般式方程47

7.8.2空间直线的对称式方程48

7.8.3空间直线的参数方程50

7.8.4两直线的夹角51

7.8.5直线与平面的夹角53

7.8.6直线与平面的交点54

7.8.7平面束56

习题7.859

7.9二次曲面60

7.9.1椭球面60

7.9.2椭圆抛物面62

7.9.3双曲抛物面64

习题7.966

复习题七66

总习题七67

选读 分形几何：研究复杂现象的数学68

第8章 多元函数微分学74

8.1多元函数的极限与连续74

8.1.1平面点集的知识74

8.1.2多元函数77

8.1.3二元函数的极限79

8.1.4二元函数的连续性82

习题8.184

8.2偏导数85

8.2.1偏导数的定义85

8.2.2高阶偏导数88

习题8.290

8.3全微分91

8.3.1全微分的定义91

8.3.2全微分存在的必要条件和充分条件92

8.3.3全微分在近似计算中的应用95

习题8.397

8.4多元复合函数的求导法则98

8.4.1多元复合函数求导的链式法则98

8.4.2一阶全微分的形式不变性101

8.4.3复合函数的高阶偏导数102

习题8.4104

8.5隐函数求导法105

8.5.1一个方程确定的隐函数的情形105

8.5.2方程组确定的隐函数的情形110

习题8.5114

8.6多元函数微分法在几何上的应用115

8.6.1空间曲线的切线与法平面115

8.6.2曲面的切平面与法线119

8.6.3全微分的几何意义122

习题8.6123

8.7方向导数和梯度124

8.7.1方向导数124

8.7.2梯度129

8.7.3等值线、等值面与梯度的意义130

习题8.7133

8.8多元函数的极值134

8.8.1极值的定义及求法134

8.8.2函数的最大值与最小值137

8.8.3条件极值138

习题8.8142

8.9最小二乘法142

习题8.9146

8.10二元函数的泰勒公式146

8.10.1二元函数的泰勒公式146

8.10.2二元函数极值的充分条件的证明148

复习题八150

总习题八151

选读 偏导数在经济分析中的应用152

第9章 数量值函数的积分学157

9.1二重积分的概念与性质157

9.1.1二重积分的概念157

9.1.2二重积分的性质160

习题9.1164

9.2二重积分在直角坐标系下的计算法165

9.2.1直角坐标系下二重积分的面积元素166

9.2.2化二重积分为二次积分166

9.2.3被积函数含参变量的积分174

习题9.2177

9.3二重积分在极坐标系下的计算法180

9.3.1二重积分在极坐标系下的表示180

9.3.2极坐标系下的二重积分的计算181

9.3.3二重积分的换元法187

习题9.3191

9.4三重积分的概念及其计算193

9.4.1引例193

9.4.2三重积分的定义193

9.4.3三重积分的计算法194

9.4.4利用柱面坐标系和球面坐标系计算三重积分199

9.4.5利用球面坐标系计算三重积分202

习题9.4205

9.5对弧长的曲线积分207

9.5.1对弧长的曲线积分的定义207

9.5.2对弧长的曲线积分的性质209

9.5.3对弧长的曲线积分的计算法209

习题9.5212

9.6第一类曲面积分213

9.6.1引例213

9.6.2第一类曲面积分的定义214

9.6.3第一类曲面积分的计算214

习题9.6218

9.7数量值函数积分学的应用219

9.7.1数量值函数积分学在几何中的应用220

9.7.2数量值函数积分学在物理中的应用225

习题9.7233

复习题九234

总习题九235

选读 数量值函数积分概念的统一与推广236

第10章 向量值函数的积分学242

10.1向量值函数的概念与性质242

10.1.1一元向量值函数242

10.1.2多元向量值函数248

10.1.3场的概念249

习题10.1251

10.2第二类曲线积分的概念与计算252

10.2.1变力沿曲线做功问题252

10.2.2第二类曲线积分的定义与性质254

10.2.3第二类曲线积分的计算256

10.2.4两类曲线积分之间的关系260

习题10.2261

10.3格林公式及其应用262

10.3.1格林公式262

10.3.2平面曲线积分与路径无关的条件267

习题10.3274

10.4第二类曲面积分的概念与计算275

10.4.1有向曲面275

10.4.2流过曲面的流量275

10.4.3第二类曲面积分的定义与性质277

10.4.4第二类曲面积分的计算279

习题10.4285

10.5高斯公式与斯托克斯公式285

10.5.1高斯公式286

10.5.2斯托克斯公式290

10.5.3空间曲线积分与路径无关的条件294

习题10.5296

10.6场论初步298

10.6.1梯度场298

10.6.2散度场299

10.6.3旋度场301

10.6.4几种重要的向量场303

习题10.6305

复习题十305

总习题十306

选读 外微分形式与积分基本公式的统一308

第11章 无穷级数313

11.1常数项级数的基本概念与性质313

11.1.1常数项级数的基本概念313

11.1.2级数的基本性质 级数收敛的必要条件316

习题11.1321

11.2常数项级数的审敛法322

11.2.1正项级数的审敛法322

11.2.2交错级数及其判别法329

11.2.3绝对收敛与条件收敛331

习题11.2334

11.3幂级数336

11.3.1函数项级数的基本概念336

11.3.2函数项级数的一致收敛性337

11.3.3幂级数及其收敛性341

11.3.4幂级数的运算及性质345

习题11.3350

11.4函数展开成幂级数351

11.4.1泰勒级数351

11.4.2函数展开成幂级数353

11.4.3函数幂级数展开式的应用359

习题11.4362

11.5傅里叶级数363

11.5.1三角级数及三角函数系的正交性363

11.5.2周期为2π的函数的傅里叶级数365

11.5.3周期为2l的函数的傅里叶级数371

习题11.5373

11.6正弦级数和余弦级数374

习题11.6377

复习题十一378

总习题十一379

选读 数学常数π与e探幽380

第12章 微分方程（续）383

12.1全微分方程与积分因子383

12.1.1全微分方程383

12.1.2积分因子385

习题12.1388

12.2高阶线性微分方程及其幂级数解法389

12.2.1高阶线性微分方程解的性质与通解结构389

12.2.2二阶线性微分方程的幂级数解法392

习题12.2397

12.3高阶常系数线性微分方程与欧拉方程397

12.3.1 n阶常系数线性微分方程的解法397

12.3.2常系数线性微分方程的算子方法399

12.3.3欧拉方程402

习题12.3405

12.4微分方程组405

12.4.1微分方程组的例子405

12.4.2微分方程组的解法409

习题12.4414

12.5微分方程数值解415

习题12.5417

复习题十二418

总习题十二418

选读 用数学来描述战争的胜负419

附录Ⅰ高等数学常用数学名词英文注释425

附录Ⅱ二阶和三阶行列式简介428

习题答案432

参考文献459