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第一章 数学的方法论基础1

1 数学的对象及其特点1

1．数学的方法1

2．数学的对象2

3．数学的特点3

2 数学发展的主要阶段5

1．引言5

2．数学的起源5

3．常量数学7

4．变量数学12

5．数学发展的现代时期13

6．现代数学的特点及其发展前景18

3 数学的认识论22

1．数学和现实22

2．现实的数学模型22

3．作为数学模型的实例的数、形和集合的概念24

4．同一性的抽象27

5．理想化及其在数学中的作用28

4 公理化方法31

1．数学中的公理化方法31

2．公理化的实例32

3．数学中与公理化方法相联系的一般概念34

4．形式化公理理论38

5．公理学与数学结构40

第二章 中小学数学中的集合论观点45

1 “朴素”集合论和公理集合论45

1．“朴素”集合论45

2．集合论的策莫洛——弗兰克尔公理47

2 结构与结构的类型51

1．集合的笛卡尔积51

2．集合的刻度52

3．数学对象的集合论构造54

4．结构的类型57

5．结构类型的实例59

3 中小学数学和集合论61

1．中小学数学中的数集61

2．点集63

3．集合论在中小学数学中的作用64

4．中小学数学中集合的包含关系65

5．中小学数学中集合的运算67

6．中小学数学中集合的笛卡尔积69

4 中小学数学中的对应和关系72

1．引言72

2．基本概念74

3．等价关系和分类76

4．序关系77

5．中小学数学中的基本对应和关系以及它们的性质80

6．算术和代数中的等价关系84

7．中小学数学中的等价类84

8．等价关系和变换群86

9．齐次空间和中小学数学88

第三章 中小学数学里的映射和函数90

1 映射和结构90

1．基本概念90

2．结构的态92

3．不变的结构94

4．中小学数学里研究的映射的基本形式97

5．中小学数学里结构的态以及在映射上的运算99

6．中小学数学里的拓扑空间和度量空间100

7．中小学数学里的连续映射和同胚映射102

2 数值函数104

1．项和函数104

2．表示函数的其他方法106

3．中小学数学里的连续函数109

4．初等函数集111

5．指数函数和群（R;+）到群（R+;·）的同构映射113

6．指数函数的性质117

7．对于指数函数概念的其他处理方法118

8．三角函数121

9．三角函数和平面的旋转123

10．三角函数与微分方程125

3 有限集合的映射和组合分析127

1．组合分析的基本法则127

2．组合分析的基本公式129

第四章 中小学数学的代数和算术基础134

1 代数运算和代数134

1．代数运算134

2．逆运算137

3．中小学数学的基本代数运算140

4．代数142

5．代数的若干种类144

6．中小学数学里代数的基本类型145

2 项及其变换148

1．代数中的项148

2．幂和倍数149

3．单项式和可交换半群151

4．有理式153

3 代数的序，对称化155

1．半群里的序关系155

2．代数的对称化156

3．半环的扩张161

4 自然数164

1．引言164

2．皮亚诺公理165

3．关于归纳法构造的基本定理167

4．皮亚诺公理的绝对性171

5．皮亚诺公理的无矛盾性173

6．作为完全有序半环的自然数集合175

7．有限集合和无限集合176

8．建立在加法基础上的自然数集合的公理181

5 正的数量值和正实数183

1．正的数量值集合公理183

2．正的数量值公理的无矛盾性187

3．正的数量值公理的绝对性189

4．正实数集R+190

第五章 中小学几何的若干问题193

1 几何的向量构造193

1．引言193

2．韦尔公理194

3．韦尔公理的其他变形196

4．韦尔公理的无矛盾性和绝对性198

5．框架和坐标199

6．直线202

7．射线204

8．线段205

9．平面206

10．半平面209

11．长度和角的测量211

12．运动213

13．点-向量仿射空间217

14．韦尔公理和中小学几何220

2 几何度量空间222

1．按柯尔莫果洛夫理论建立欧几里得平面结构的逻辑图式222

2．韦尔公理体系和柯尔莫果洛夫公理体系的联系229

3 几何量的测量231

1．量的一般定义231

2．量的直接测量233

3．Rk里体积的测量234

4．曲线的长度237

5．曲线长度的存在性239

6．长度的唯一性240

7．弧长的下半连续241

8．曲面的面积242

第六章 中小学数学的语言244

1 名称、值、意义244

1．名称244

2．名称和意义246

3．命题248

4．常元和变元249

5．式251

2 中小学数学的基本符号254

1．数学语言254

2．数学符号256

3．中小学数学的字母表258

4．中小学代数的字母表261

5．中小学几何字母表263

6．数学分析原理的语言264

7．中小学代数语言的结构267

8．中小学代数语言的词义271

9．公式272

10．几何和分析原理中的项和公式272

11．基本公式274

第七章 中小学数学的逻辑275

1 数学命题275

1．中小学数学里的数学命题275

2．逻辑等价和逻辑推断277

3．全逻辑公式279

2 定义281

1．引言281

2．名义上的定义和实际的定义282

3．被定义的和定义的283

4．正确的和不正确的定义286

5．存在性和唯一性287

6．描述法289

7．公理化定义290

8．古典定义292

9．递归定义293

3 证明295

1．形式证明和内容证明295

2．推断规则298

3．间接证明300

4．用数学归纳法证明304

参考文献306