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第1章　行列式1

1.1 本章综述1

1.2　释疑解难2

问题1.1 计算排列的逆序数有哪些方法？2

问题1.2 大于3阶的行列式能不能按对角线法则展开？3

问题1.3　n阶行列式的定义3

问题1.4 n阶行列式中含特定元素的所有项的求法3

问题1.5　几种利用定义计算的行列式3

问题1.6　利用性质计算行列式所要注意的几点4

问题1.7　余子式和代数余子式的几点说明5

问题1.8　行列式按行（列）展开定理6

问题1.9　有关范德蒙行列式的几点应用7

问题1.10 克莱姆法则求解方程组所要注意的几点9

题型2　行列式中项的判定10

题型1　求排列的逆序数10

1.3　题型归纳10

题型3　求行列式表示的多项式的最高次数和各项系数11

题型4 用行列式定义计算行列式11

题型5　化三角形法和降阶法计算行列式12

题型6　具备某些特征的行列式的计算15

题型7　计算较复杂行列式的多种技巧20

题型8　行列式的相关证明25

题型9　利用克莱姆法则求解方程组28

题型10　方程组解的唯一性相关判别29

1.4　习题解答30

第2章 矩阵43

2.1 本章综述43

2.2　释疑解难45

问题2.1 矩阵和行列式的区别45

问题2.2　矩阵运算与行列式运算的区别45

问题2.4　矩阵的幂和方阵行列式的幂的区别46

问题2.3　矩阵乘法和数的乘法的区别46

问题2.5　零矩阵和单位矩阵是否唯一？47

问题2.6 如何判断矩阵A可逆？如何求A-1？47

问题2.7　逆矩阵运算有哪些常用性质？47

问题2.8　对于n阶可逆矩阵A,(AT)-1=(A1)T,(A*)-1=(A-1)*是否成立？48

问题2.9　伴随矩阵有哪些常考的性质？48

问题2.10 用可逆矩阵A及其行列式怎样表示|A*|,(A*),|(A*)*|？48

问题2.11 如何求解矩阵方程？48

问题2.12　分块矩阵作乘法怎样运算？48

问题2.13　分块对角矩阵的行列式和逆矩阵49

2.3　题型归纳49

题型1 矩阵的基本运算49

题型2　求n阶方阵A的幂Ak50

题型3　满秩矩阵的逆阵55

题型4　求解矩阵方程62

题型5　分块矩阵运算65

题型6　方阵的行列式66

题型7　求矩阵中的参数68

2.4 习题解答69

第3章 矩阵的初等变换与线性方程组80

3.1 本章综述80

3.2 释疑解难81

问题3.1 矩阵的初等变换和行阶梯形矩阵、行最简形矩阵以及标准形矩阵的关系81

问题3.2 在秩是r的矩阵中，有没有等于0的r—1阶子式？有没有等于0的r阶子式？81

问题3.3　如何判断一个矩阵是否为行阶梯形矩阵？如何求行阶梯形矩阵的秩？82

问题3.4　怎样求矩阵的秩？82

问题3.5　怎样判断n元齐次线性方程组只有零解或有非零解？82

问题3.6　n元非齐次线性方程组Am×nx=b是否恰有k个解？（k是大于1的有限整数）82

问题3.7　含参数的线性方程组如何解？83

问题3.8　矩阵的初等变换与相应的初等矩阵的关系83

问题3.9　利用矩阵乘积表示方程组的两种方法83

问题3.11 求一个可逆矩阵的逆矩阵常用什么方法？84

问题3.10　如何利用初等变换求可逆矩阵逆阵及解矩阵方程？84

3.3　题型归纳85

题型1 求矩阵的秩和最高阶非零子式85

题型2　线性方程组解的存在性判别90

题型3　通过矩阵的初等变换求满秩矩阵的逆矩阵92

题型4　通过矩阵的初等变换求解矩阵方程95

题型5　求解一般线性方程组96

3.4 习题解答101

第4章 向量组112

4.1　本章综述112

4.2　释疑解难114

问题4.1 向量的运算有哪些？分别遵循什么规律？114

问题4.2 区分两种向量乘法114

问题4.3　矩阵与向量组的关系114

问题4.5　矩阵乘法与向量组线性表示的关系115

问题4.4 怎样判断一个向量能否被一组向量线性表示？115

问题4.6 向量组线性相关和线性无关的理解116

问题4.7 若向量组A：α1，α2，…，αm线性相关，是否其中的每一个向量都可以由其余的向量线性表示？116

问题4.8 证明或判断一个向量组线性相关或线性无关的常用方法有哪些？117

问题4.9 如果向量组A：α1，α2，…，αm的秩为r，那么其中任意r个向量是否都可以构成它的一个最大线性无关组？117

问题4.10　求向量组的最大线性无关向量组有哪些方法？117

问题4.11 由向量组A：α1，α2，…，αm生成的向量空间是什么样的？118

问题4.12　一般线性方程组有哪些形式？118

问题4.13 如何求齐次线性方程组的基础解系？119

问题4.14　求非齐次线性方程组通解的一般步骤120

4.3　题型归纳120

题型1 向量的概念和运算120

题型2 向量组线性组合和线性表示121

题型3　向量组线性相关和线性无关124

题型4　求向量组的极大无关组及向量组的秩134

题型6　向量空间137

题型7　等价向量组140

题型8　线性方程组解的结构141

题型9　一般线性方程组求解144

题型10　含参数线性方程组求解147

题型11 同解线性方程组求解153

4.4 习题解答157

第5章 二次型168

5.1 本章综述168

5.2 释疑解难169

问题5.1 向量的内积是什么？有哪些性质？169

问题5.2　施瓦茨不等式怎样证明？169

问题5.3　正交向量组和无关向量组有何联系？170

问题5.4 何谓正交矩阵？正交矩阵有哪些性质？170

问题5.5　矩阵的特征值和特征向量分别有哪些性质？170

问题5.6 如果λ是方阵A的r重特征值，那么方阵A的属于λ的是否一定有r个线性无关的特征向量？171

问题5.7　相似矩阵有哪些性质？171

问题5.10 如何判断一个二次型f=xTAx是正定的？172

问题5.8 判断矩阵A是否可对角化的基本方法有哪些？172

问题5.9 对于实对称矩阵A，如何求正交矩阵P，使P1AP为对角阵？172

问题5.11 化实二次型为标准型的常用方法有哪些？173

5.3　题型归纳173

题型1 向量的内积和正交化173

题型2　矩阵的特征值与特征向量175

题型3　已知特征值和特征向量求矩阵182

题型3　相似矩阵和矩阵对角化187

题型4　合同矩阵200

题型5　二次型201

题型6　正定矩阵和正定二次型209

5.4 习题解答210

附录1 课程考试真题（A）及参考答案223

附录2　课程考试真题（B）及参考答案228

参考文献233