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第一章 复数1

1.1 复数1

1．复数1

2．复数的几何表示1

1.2 复数的运算5

1．四则运算5

2．乘幂和方根7

3．共轭复数的性质11

1.3 复数在几何方面的应用13

1.4 无穷远点与复球面16

1.5 平面点集20

1．基本概念20

2．区域21

3．曲线22

本章小结26

习题一27

第二章 解析函数29

2.1 复变函数29

1．复变函数29

2．单叶函数31

3．反函数32

4．复合函数32

2.2 极限32

1．函数极限32

2．必要充分条件33

2.3 连续性35

1．连续35

2．连续的必要充分条件35

3．连续性37

2.4 解析函数39

1．导数39

2．可微条件41

3．解析函数45

4．C．——R．条件的应用48

2.5 单叶解析函数及其几何意义49

1．单叶解析函数49

2．导数的几何意义49

3．保形变换概念51

本章小结53

习题二53

第三章 初等复函数55

3.1 幂函数W=zn，根式函数？及其黎曼面55

1．幂函数w=zn55

2．根式函数n？z及黎曼面57

3.2 指数函数，对数函数及其黎曼面64

1．指数函数64

2．对数函数及其黎曼面66

3.3 三角函数，反三角函数73

1．三角函数73

2．反三角函数76

3.4 双曲函数，反双曲函数77

1．双曲函数77

2．反双曲函数78

3.5 一般幂函数，一般指数函数79

1．一般幂函数，79

2．一般指数函数81

本章小结83

习题三84

第四章 复变函数积分86

4.1 复变函数的积分概念86

1．复积分的概念86

2．复积分的基本性质87

3．沿光滑曲线积分的计算89

4.2 柯西积分定理92

1．柯西积分定理92

2．原函数93

3．柯西积分定理推广到多连通区域96

4.3 柯西积分公式98

1．柯西积分公式98

2．解析函数无穷可微性101

3．解积函数的一个等价概念107

4.4 柯西积分定理，柯西积分公式在无界区域的推广108

4.5 几个重要定理110

1．平均值定理110

2．柯西不等式111

3．刘维尔定理111

4．代数基本定理112

4.6 调和函数112

本章小结116

习题四118

第五章 解析函数的泰勒展式120

5.1 复数域内的级数120

1．复数项级数120

2．复函数项级数125

5.2 幂级数131

1．幂级数的敛散性132

2．收敛半径求法133

3．幂级数的和函数的性质136

5.3 泰勒展式137

1．解析函数的泰勒展式137

2．初等函数的泰勒展式140

5.4 零点及解析函数唯一性定理145

1．零点及其阶145

2．零点的性质147

3．解析函数唯一性定理148

4．最大模原理151

5.5 解析开拓152

1．解析开拓概念153

2．解析开拓的幂级数方法153

本章小结158

习题五158

第六章 解析函数的罗朗展式160

6.1 罗朗展式160

1．双边级数160

2．解析函数的罗朗展式161

3．罗朗展式举例165

6.2 解析函数在弧立奇点领域内的性质170

1．弧立奇点170

2．弧立奇点分类170

3．解析函数在弧立奇点邻域的性质172

6.3 解析函数在无穷远点邻域的性质180

1．弧立奇点分类180

2．解析函数在无穷远点邻域的性质181

6.4 整函数和亚纯函数的概念181

1．整函数181

2．亚纯函数182

本章小结183

习题六184

第七章 留数及其应用185

7.1 留数的一般理论185

1．留数185

2．留数计算186

3．无穷远点的留数192

4．留数定理194

7.2 幅角原理196

1．幅角原理196

2．儒歇定理200

7.3 实函数积分值的计算202

1．三角函数有理式的积分203

2．有理函数的积分206

3．混合型积分209

4．其他积分213

本章小结215

习题七224

第八章 保形变换225

8.1 一般定理225

8.2 线性变换226

1．整线性函数226

2．w=1/z227

3．分式线性函数229

4．分式线性变换的性质233

5．两个特殊的分式线性变换236

8.3 变换举例240

本章小结247

习题八247

附 录248

Ⅰ．柯西积分定理的古莎证明248

Ⅱ．复变函数在流体力学中的解释251

Ⅲ．参考书目254

习题答案255