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预篇 变分原理与最优控制3

第1章 变分原理3

1.1 泛函极值问题实例3

1.2 泛函的极值6

1.2.1 极值的定义6

1.2.2 极值曲线与绝对极值8

1.3 泛函的变分10

1.3.1 变分的定义和性质10

1.3.2 泛函极值的必要条件14

1.4 无约束变分问题15

1.4.1 必要条件15

1.4.2 横截条件18

1.4.3 充分条件19

1.4.4 含多个函数的泛函变分问题20

1.5 约束变分问题21

1.5.1 ？（x，y1…，yn）＝0型约束21

1.5.2 ？（x，y1，…，yn， y1…，yn）＝0型约束22

第2章 最优控制问题及实例24

2.1 动态系统与状态空间简介24

2.1.1 动态系统的数学描述24

2.1.2 动态系统的状态空间25

2.1.3 动态系统的几种形式27

2.2 最优控制概述27

2.3 最优控制实例分析30

2.3.1 空间技术的问题30

2.3.2 工程问题32

2.3.3 生产问题33

2.3.4 运动学问题34

第3章 最优控制问题的数学描述35

3.1 最优控制问题的初等描述35

3.1.1 受控制系统的数学模型35

3.1.2 约束条件36

3.1.3 性能指标36

3.1.4 最优控制的提法37

3.2 精确数学表达形式38

3.3 离散系统最优控制描述39

3.3.1 离散系统的控制问题39

3.3.2 连续控制问题离散化40

第1篇 最优控制问题的变分方法43

第4章 最优控制与变分问题的相互转换43

4.1 最优控制问题的三种形式43

4.1.1 Lagrange问题（积分型性能指标）43

4.1.2 Mayer问题（终端指标）43

4.1.3 Bolza问题（综合指标）43

4.2 三种形式的等价关系44

4.2.1 Bolza问题转化为Lagrange问题44

4.2.2 Bolza问题转化为Mayer问题44

4.2.3 Lagrange问题转化为Mayer问题45

4.3 变分问题的三种形式及其等价关系45

4.3.1 变分问题的三种形式45

4.3.2 三种形式的等价关系46

4.4 最优控制问题化为变分问题46

4.5 变分问题化为最优控制问题48

第5章 无约束最优控制问题的变分方法49

5.1 数学模型与终端状态49

5.2 固定终端时间极值的必要条件51

5.2.1 x（tf）自由的情形51

5.2.2 x（tf）受约束的情形54

5.3 自由终端时间极值的必要条件58

5.3.1 S＝Rn的情形59

5.3.2 S＝{x（tf） | N（x（tf），tf）＝0，N为q维向量函数｝的情形60

5.4 一般结论及例子64

第6章 约束最优控制问题的变分方法69

6.1 问题提出69

6.2 等式约束下的变分方法70

6.3 特殊等式约束下的迭代方法72

6.4 不等式约束下的变分方法74

6.4.1 Pontryagin极小值原理74

6.4.2 一般方法及例子76

6.4.3 问题与思考79

第2篇 动态规划方法83

第7章 离散系统的动态规划方法83

7.1 多阶段决策问题（引例及相关基本概念）83

7.2 多阶段决策问题的数学描述86

7.2.1 数学模型86

7.2.2 Bellman最优性原理86

7.2.3 动态规划基本定理87

7.3 求解多阶段决策问题的动态规划方法88

第8章 连续系统的动态规划方法93

8.1 连续系统的最优性原理93

8.2 最优控制的必要条件94

8.3 动态规划计算方法97

8.4 算例98

8.5 其他终端时刻、终端状态的情形101

8.6 两种系统（离散与连续）动态规划的比较102

8.6.1 最优性原理102

8.6.2 最优值函数103

8.6.3 基本方程（最优值函数所满足的方程）104

8.7 无约束变分方法、约束变分方法与连续动态规划方法比较104

第3篇 最优控制问题的数值方法109

第9章 两点边值问题109

9.1 引言109

9.2 线性边值问题110

9.2.1 基本恒等式与共轭函数法111

9.2.2 补足函数法114

9.3 非线性边值问题116

9.3.1 迭代-共轭函数法116

9.3.2 拟线性方法（Newton法与补足函数法联合使用）119

9.3.3 优化方法121

9.3.4 Newton法122

9.4 隐式边界条件的求解124

9.5 多重打靶方法126

第10章 无约束最优控制问题的数值方法129

10.1 无约束变分方法的迭代算法129

10.2 梯度法130

10.2.1 泛函的梯度130

10.2.2 迭代步长因子α的选择132

10.2.3 梯度算法132

10.3 共轭梯度法137

10.4 Newton法（二阶变分法）138

10.5 变尺度方法139

第11章 约束最优控制问题的数值方法141

11.1 控制变量约束的处理141

11.2 约束梯度算法142

11.3 Frank-Wolfe方法143

11.4 罚函数法144

11.5 另外形式的迭代算法145

第4篇LQR问题专题研究151

第12章 标准LQR问题151

12.1 有限时间的LQR问题（连续系统的状态调节器）151

12.1.1 数学模型151

12.1.2 用最优性条件解反馈形式u （t）＝u（x，t）151

12.1.3 求解有限时间LQR问题（线性二次型最优控制问题）的步骤155

12.1.4 关于Riccati矩阵的一些性质159

12.2 有限时间的LQR问题（离散系统的状态调节器）161

12.2.1 离散系统的数学模型161

12.2.2 由极小值原理求最优反馈律162

12.2.3 有限时间离散系统LQR问题解题步骤162

12.2.4 定常系统的动态规划解法163

12.3 无限时间的状态调节器170

12.3.1 数学模型170

12.3.2 最优反馈律171

12.4 无限时间的定常状态调节器172

12.4.1 数学模型172

12.4.2 Riccati矩阵K（t，0，∞）的定常性质173

12.5 附录175

12.5.1 线性时变系统的解176

12.5.2 线性定常系统的解177

12.5.3 线性系统的可控性178

12.5.4 线性系统的可观性179

第13章 可转化为状态调节器的LQR问题182

13.1 输出调节器182

13.1.1 有限时间的输出调节器182

13.1.2 无限时间的输出调节器（定常系统）183

13.2 具有指定稳定度α的调节器184

13.3 常值干扰下的调节器186

13.3.1 不考虑输出方程的数学模型186

13.3.2 最优反馈律187

13.3.3 考虑输出方程的数学模型189

13.4 跟踪调节器193

13.4.1 不考虑输出y（t）的光滑要求193

13.4.2 考虑对y（t）的光滑要求194

第14章 次优LQR问题198

14.1 问题的提出（次优反馈律）198

14.2 关于代价矩阵VL（t）及其性质199

14.3 次优控制的数学模型（次优LQR问题）201

14.3.1 L（t）的结构问题201

14.3.2 L（t）的最优选择202

14.4 次优增益矩阵的收敛性和误差估计203

14.5 次优LQR问题的最优性条件（必要条件）206

14.6 分段定常增益矩阵的算法设计210

第15章 无限终端次优调节器的研究213

15.1 无限终端定常状态调节器的次优输出反馈律213

15.2 无限终端定常输出调节器的最优输出反馈律216

15.3 带控制结构约束的无线终端定常调节器217

15.3.1 次优模型的建立218

15.3.2 次优反馈的必要条件218

15.4 算法设计220

第5篇 最优控制的应用模型225

第16章 最优管理问题225

16.1 生产与库存问题225

16.1.1 离散时间系统的最优库存模型225

16.1.2 类似于离散时间的最优库存模型，关于连续时间系统的最优库存模型233

16.2 最优消费时的最优积累率235

16.3 最优经济增长模型238

16.3.1 最优资本积累模型238

16.3.2 引入人口平均消费量的模型239

16.4 最优投资模型242

第17章 最短时间和最少燃料的最优控制246

17.1 Bang-Bang控制246

17.2 非线性系统的时间最优控制258

17.3 线性定常系统非奇异的判别条件260

17.4 最小燃料问题263

17.4.1 燃料最优控制263

17.4.2 时间-燃料综合最优控制266

第18章 最优控制应用实际案例——第二代YBCO高温超导带材磁悬浮系统的稳定控制270

18.1 问题的提出270

18.2 建模分析271

18.3 模型的建立274

18.4 模型的求解275

18.4.1 静态外磁场下优化模型的求解275

18.4.2 动态外磁场下最优控制模型的求解279

参考文献280