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第二篇 微积分1

第8章 无穷级数1

8.1 数项级数的收敛与发散1

8.1.1 基本概念1

8.1.2 收敛级数的性质5

习题8.17

8.2 正项级数8

8.2.1 有界性准则9

8.2.2 比较判别法10

8.2.3 比值判别法13

8.2.4 根值判别法15

8.2.5 积分判别法16

习题8.217

8.3 一般级数19

8.3.1 交错级数19

8.3.2 绝对收敛与条件收敛20

8.3.3 绝对收敛级数的性质21

习题8.324

8.4 函数项级数的基本概念26

8.4.1 函数项级数的概念26

8.4.2 函数项级数的一致收敛性27

8.4.3 一致收敛级数的性质30

习题8.431

8.5 幂级数及其收敛性32

8.5.1 幂级数的收敛半径与收敛区间33

8.5.2 收敛半径的求法35

8.5.3 幂级数的性质38

习题8.542

8.6 Taylor级数43

8.6.1 基本定理43

8.6.2 将函数展开为幂级数46

习题8.651

8.7 周期函数的Fourier级数52

8.7.1 正交三角函数系52

8.7.2 Fourier级数54

8.7.3 Dirichlet收敛定理55

8.7.4 正弦级数和余弦级数57

习题8.759

8.8 任意区间上的Fourier级数60

8.8.1 区间[—π，π]上的Fourier级数60

8.8.2 区间[—ι，ι]上的Fourier级数62

习题8.865

8.9 Fourier级数的复数形式66

习题8.969

总习题869

第9章 多元函数的微分学74

9.1 n维欧氏空间74

9.1.1 n维欧氏空间Rn74

9.1.2 邻域75

9.1.3 内点、外点、边界点、聚点76

9.1.4 开集76

9.1.5 闭集76

9.1.6 区域76

习题9.177

9.2 多元函数的极限与连续77

9.2.1 多元函数的概念77

9.2.2 二元函数的几何意义78

9.2.3 等高线和等位面78

9.2.4 极限与连续79

习题9.280

9.3 偏导数和全微分81

9.3.1 偏导数81

9.3.2 全微分83

9.3.3 可微性与连续性、偏导数存在性的关系83

习题9.386

9.4 复合函数微分法和高阶全微分87

9.4.1 复合函数求导法87

9.4.2 一阶全微分形式不变性89

9.4.3 高阶偏导数和高阶全微分90

习题9.492

9.5 方向导数与梯度93

9.5.1 方向导数93

9.5.2 梯度95

习题9.596

9.6 隐函数微分法97

9.6.1 函数隐藏于一个方程的情形97

9.6.2 函数隐藏于方程组的情形99

9.6.3 隐函数存在定理101

习题9.6104

9.7 多元函数的Taylor公式105

习题9.7107

9.8 多元函数的极值107

9.8.1 多元函数极值107

9.8.2 极值的必要条件107

9.8.3 极值的充分条件108

9.8.4 最大值和最小值111

习题9.8112

9.9 多元函数的条件极值113

9.9.1 条件极值113

9.9.2 Lagrange乘数法113

习题9.9116

9.10 向量值函数的导数117

9.10.1 向量值函数117

9.10.2 向量值函数的极限和连续性118

9.10.3 向量值函数的导数119

习题9.10120

9.11 偏导数的几何应用121

9.11.1 空间曲线的切线与法平面121

9.11.2 曲面的切平面与法线123

习题9.11125

总习题9126

第10章 重积分128

10.1 二重积分的概念128

10.1.1 曲顶柱体的体积128

10.1.2 平面薄片的质量129

10.1.3 二重积分的定义130

10.1.4 二重积分的性质131

习题10.1133

10.2 二重积分的计算法135

10.2.1 二重积分的直角坐标计算法135

10.2.2 二重积分的极坐标计算法140

10.2.3 二重积分的一般换元法142

习题10.2145

10.3 广义二重积分148

习题10.3149

10.4 三重积分的概念及计算150

10.4.1 三重积分的概念150

10.4.2 三重积分的直角坐标计算法151

10.4.3 三重积分的柱坐标计算法154

10.4.4 三重积分的球坐标计算法156

习题10.4158

10.5 重积分的应用161

10.5.1 体积161

10.5.2 物体的质心162

10.5.3 转动惯量164

10.5.4 引力165

习题10.5168

总习题10169

第11章 含参变量积分171

11.1 含参变量的常义积分171

习题11.1175

11.2 含参变量的反常积分175

11.2.1 含参变量反常积分的一致收敛性175

11.2.2 含参变量反常积分的性质180

习题11.2184

总习题11184

第12章 第一型曲线积分和曲面积分186

12.1 第一型曲线积分186

12.1.1 第一型曲线积分的定义与性质186

12.1.2 第一型曲线积分的计算188

习题12.1191

12.2 第一型曲面积分192

12.2.1 曲面面积192

12.2.2 第一型曲面积分的定义和性质195

12.2.3 第一型曲面积分的计算195

习题12.2201

总习题12202

第13章 第二型曲线积分和曲面积分203

13.1 第二型曲线积分203

13.1.1 第二型曲线积分的概念和性质203

13.1.2 第二型曲线积分的计算205

13.1.3 两类曲线积分的联系208

习题13.1210

13.2 Green公式211

13.2.1 Green公式211

13.2.2 Green公式的应用213

习题13.2216

13.3 平面曲线积分与路径无关的条件、保守场217

13.3.1 平面曲线积分与路径无关的条件217

13.3.2 原函数与全微方程221

13.3.3 保守场与势函数224

习题13.3225

13.4 第二型曲面积分226

13.4.1 曲面的侧226

13.4.2 第二型曲面积分的概念228

13.4.3 第二型曲面积分的计算230

13.4.4 两类曲面积分的联系233

习题13.4235

13.5 Guass公式、通量和散度236

13.5.1 Guass公式236

13.5.2 通量和散度239

习题13.5243

13.6 Stokes公式、环流量和旋度244

13.6.1 Stokes公式244

13.6.2 环流量和旋度249

习题13.6250

13.7 Hamilton算子252

13.7.1 Hamilton算子的运算规则252

13.7.2 几个基本公式253

13.7.3 例子253

习题13.7255

13.8 向量的外积与外微分形式255

13.8.1 向量的外积256

13.8.2 外微分形式及外微分257

13.8.3 场论基本公式的统一形式259

习题13.8261

第三篇 常微分方程262

第14章 常微分方程262

14.1 微分方程的基本概念262

习题14.1265

14.2 一阶微分方程266

14.2.1 变量可分离方程266

14.2.2 齐次微分方程268

14.2.3 一阶线性微分方程269

14.2.4 恰当方程272

14.2.5 一阶方程的初等变换法和积分因子法273

14.2.6 一阶微分方程初值问题解的存在与唯一性279

14.2.7 一阶微分方程的幂级数解法举例280

习题14.2281

14.3 二阶微分方程283

14.3.1 可降阶的二阶微分方程283

14.3.2 二阶线性微分方程286

14.3.3 二阶常系数线性微分方程293

14.3.4 几种特殊的二阶变系数线性微分方程301

习题14.3304

14.4 n阶微分方程306

14.4.1 可降阶的n阶线性微分方程306

14.4.2 n阶线性微分方程310

14.4.3 n阶常系数线性方程311

14.4.4 n阶Euler方程313

习题14.4314

总习题14315

第15章 线性微分方程组317

15.1 常系数线性微分方程组的初等解法317

15.2 常系数线性方程组的算子解法319

15.3 变系数线性方程组解法举例321

总习题15322

参考文献324

习题答案与提示325