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第一章 微分方程的力学化1

1.1 微分方程的Lagrange化1

1.1.1 一阶方程组的Lagrange化1

1.1.2 一阶方程组的部分Lagrange化2

1.1.3 二阶方程组的Lagrange化2

1.1.4 二阶方程组借助辅助变量的Lagrange化4

1.1.5 二阶方程组的部分Lagrange化5

1.1.6 例题5

习题8

1.2 微分方程的Hamilton化9

1.2.1 微分方程的直接Hamilton化9

1.2.2 微分方程的间接Hamilton化10

1.2.3 借助辅助变量的Hamilton化10

1.2.4 微分方程的部分Hamilton化11

1.2.5 例题11

习题16

1.3 微分方程的Birkhoff化16

1.3.1 Santilli第一方法17

1.3.2 Santilli第二方法17

1.3.3 Hojman方法17

1.3.4 自治系统Birkhoff函数的构造18

1.3.5 微分方程的部分Birkhoff化18

1.3.6 例题19

习题25

参考文献26

第二章 微分方程的降阶法27

2.1 微分方程Lagrange化后的降阶法27

2.1.1 Routh降阶法27

2.1.2 Whittaker降阶法28

2.1.3 例题29

习题32

2.2 微分方程Hamilton化后的降阶法33

2.2.1 有循环坐标的情形33

2.2.2 Whittaker降阶法33

2.2.3 例题34

习题37

2.3 微分方程Birkhoff化后的降阶法37

2.3.1 利用循环积分的降阶法37

2.3.2 利用能量积分的降阶法39

2.3.3 例题41

习题44

参考文献44

第三章 微分方程的Hamilton-Jacobi方法46

3.1 微分方程的Hamilton化46

3.1.1 微分方程的直接Hamilton化46

3.1.2 微分方程的间接Hamilton化47

3.1.3 微分方程借助辅助变量的Hamilton化47

3.1.4 例题48

习题51

3.2 Hamilton-Jacobi方法及其应用52

3.2.1 Hamilton-Jacobi定理52

3.2.2 Hamilton-Jacobi方法的应用53

3.2.3 例题53

习题61

3.3 Hamilton-Jacobi方法的推广62

3.3.1 Hamilton-Jacobi方法的推广62

3.3.2 微分方程的部分Hamilton化63

3.3.3 例题64

习题66

参考文献66

第四章 微分方程的Poisson方法68

4.1 微分方程Hamilton化后的Poisson方法68

4.1.1 Hamilton化后的Poisson方法68

4.1.2 部分Hamilton化后的广义Poisson方法69

4.1.3 例题70

习题76

4.2 微分方程Lagrange化后的Poisson方法77

4.2.1 Lagrange化后的Poisson方法78

4 2.2 部分Lagrange化后的广义Poisson方法78

4.2.3 例题79

习题86

4.3 微分方程Birkhoff化后的Poisson方法87

4.3.1 Birkhoff化后的广义Poisson方法87

4.3.2 部分Birkhoff化后的广义Poisson方法89

4.3.3 例题90

习题95

参考文献96

第五章 微分方程的Noether方法97

5.1 微分方程Lagrange化后的Noether方法97

5.1.1 Lagrange化后的Noether方法97

5.1.2 部分Lagrange化后的Noether方法98

5.1.3 借助辅助变量Lagrange化后的Noether方法98

5.1.4 例题99

习题106

5.2 微分方程Hamilton化后的Noether方法108

5.2.1 Hamilton化后的Noether方法108

5.2.2 部分Hamilton化后的Noether方法108

5.2.3 借助辅助变量Hamilton化后的Noether方法109

5.2.4 例题110

习题116

5.3 微分方程Birkhoff化后的Noether方法117

5.3.1 Birkhoff化后的Noether方法117

5.3.2 部分Birkhoff化后的Noether方法118

5.3.3 例题118

习题124

参考文献125

第六章 微分方程的Hojman方法126

6.1 Hojnan方法及其推广126

6.1.1 Hojman定理126

6.1.2 Hojman定理的推广127

6.2 Hojman方法的应用129

6.2.1 对于一阶方程的应用129

6.2.2 对于二阶方程的应用132

6.2.3 对于高阶方程的应用137

习题143

参考文献144

第七章 微分方程的场方法146

7.1 场方法146

7.1.1 场方法146

7.1.2 场方法对于力学系统的某些应用148

7.2 求解微分方程的场方法148

7.2.1 对于一阶方程的应用148

7.2.2 对于二阶方程的应用153

7.2.3 对于高阶方程的应用156

习题160

参考文献160

第八章 微分方程的势积分方法162

8.1 势积分方法162

8.1.1 势积分方法介绍162

8.1.2 势积分方法的简单应用164

8.2 微分方程的势积分方法164

8.2.1 对于一阶方程的应用165

8.2.2 对于二阶方程的应用167

8.2.3 对于高阶方程的应用171

习题177

参考文献177

第九章 微分方程的共形不变性178

9.1 一阶微分方程组的共形不变性与积分178

9.1.1 一阶方程组的共形不变性178

9.1.2 共形不变性导致的Hojman守恒量179

9.1.3 共形不变性导致的Noether守恒量182

9.2 二阶微分方程组的共形不变性与积分186

9.2.1 二阶方程组的共形不变性186

9.2.2 共形不变性导致的Hojman守恒量187

9.2.3 共形不变性导致的Noether守恒量188

习题194

参考文献194

第十章 微分方程的Jacobi最终乘子195

10.1 一般微分方程组的Jacobi最终乘子195

10.1.1 最终乘子195

10.1.2 由两个乘子导出积分196

10.1.3 对Lagrange力学逆问题的应用196

10.2 Hamilton系统的最终乘子200

10.2.1 最终乘子对Hamilton系统的应用200

10.2.2 例题202

10.3 广义Hamilton系统的最终乘子203

10.3.1 广义Hamilton系统的方程203

10.3.2 广义Hamilton系统的最终乘子204

10.3.3 最终乘子法的应用205

10.3.4 例题205

10.4 Birkhoff系统的最终乘子208

10.4.1 Birkhoff系统的最终乘子208

10.4.2 最终乘子法的应用210

10.4.3 广义Birkhoff系统的最终乘子210

10.5 最终乘子对微分方程积分的应用210

10.5.1 微分方程的Hamilton化与最终乘子210

10.5.2 微分方程的广义Hamilton化与最终乘子212

10.5.3 微分方程的Birkhoff化与最终乘子214

习题221

参考文献222

第十一章 微分方程的Lagrange方法与Birkhoff方法223

11.1 微分方程的Lagrange方法223

11.1.1 微分方程的Lagrange化223

11.1.2 微分方程的Lagrange对称性与积分226

11.1.3 例题229

11.2 微分方程的Birkhoff方法235

11.2.1 微分方程的Birkhoff化235

11.2.2 微分方程的Birkhoff对称性与积分235

11.2.3 例题238

习题242

参考文献242

第十二章 微分方程的力学化与稳定性244

12.1 Lyapunov稳定性的一些结论244

12.1.1 Lyapunov稳定性244

12.1.2 部分变量稳定性245

12.1.3 例题246

12.2 Lagrange化与稳定性247

12.2.1 一般理论248

12.2.2 例题248

习题252

12.3 Hamilton化与稳定性253

12.3.1 一般理论253

12.3.2 例题254

习题257

12.4 Birkhoff化与稳定性258

12.4.1 一般理论258

12.4.2 例题259

习题262

参考文献262