微分几何及其在力学中的应用2025|PDF|Epub|mobi|kindle电子书版本百度云盘下载

微分几何及其在力学中的应用PDF格式电子书版下载

注意：本站所有压缩包均有解压码： 点击下载压缩包解压工具

第一章 向量与张量1

1.1 n维实向量空间1

一、向量与坐标1

二、坐标变换2

1.2对偶空间3

一、线性函数与对偶空间3

二、对偶空间中的坐标变换4

三、力学中的对偶空间5

1.3欧氏空间与伪欧氏空间8

一、欧氏空间8

二、欧氏空间的自对偶性质10

三、伪欧氏空间11

1.4张量14

一、张量的定义14

二、欧氏空间中的张量15

三、张量代数16

1.5张量的反称化和外积20

一、张量的反称化，外形式20

二、向量的外积22

三、Hodge星算子26

1.6几类特殊张量和它们的性质29

一、二阶张量与特征值29

二、Levi-Civita符号30

习题一31

第二章 欧氏空间中的曲纹坐标32

2.1曲纹坐标与活动标架32

一、曲纹坐标32

二、活动标架33

三、活动标架的微商35

2.2绝对微商38

一、协变导数38

二、逆变导数41

三、张量的绝对微商42

四、正交曲线坐标与非完整系44

五、张量的物理分量48

六、几个常见的微分算子48

七、两点张量场51

2.3欧氏空间中的曲线52

一、曲线的参数方程与弧长52

二、Frenet公式53

三、曲线的密切性质57

四、例子与应用——曲杆的弯曲59

2.4曲面论62

一、欧氏空间的子流形62

二、曲面与曲面的弯曲性质64

三、曲面论的基本方程67

四、Gauss方程与Codazzi方程68

五、曲面上的曲线，测地曲率与测地线71

六、曲面上的曲线坐标网72

2.5曲面的无限小弯曲79

一、曲面的弯曲变形与无限小弯曲79

二、卵形曲面的刚硬性82

2.6几种特殊曲面85

一、直纹面与可展曲面85

二、旋转曲面88

三、平行曲面，曲面的焦曲面88

四、伪球面与Sine-Gordon方程89

五、Backlund变换92

2.7欧氏空间的变换群97

一、变换群97

二、线性变换群？？（n,R）98

三、线性变换群的某些特殊子群100

四、变换群与其切空间的关系102

五、欧氏空间中的保角变换104

习题二109

第三章 流形与Riemann流形111

3.1流形111

一、流形的定义111

二、流形上的坐标113

3.2流形的切空间117

一、切空间与切丛117

二、余切空间与余切丛120

三、流形上的张量122

3.3子流形与Riemann流形123

一、流形间光滑映射的诱导映射123

二、子流形124

三、Riemann流形127

四、Riemann流形中向量的平行128

3.4 Riemann曲率张量129

一、曲率张量的引进129

二、曲率张量的性质130

三、曲率张量的缩并131

3.5 Riemann流形与力学系统134

一、有限自由度系统的运动方程134

二、变形张量的协调方程134

习题三136

第四章 外微分与Stokes定理138

4.1外微分138

一、微分形式138

二、外微分139

三、若干例子141

4.2 Stokes定理143

一、流形上的积分143

二、Stokes定理146

三、Stokes定理的若干应用150

4.3 Poincare逆定理151

一、闭形与恰当形151

二、Poincare逆定理152

三、Poincare逆定理在全局成立的充分条件155

四、流形上的对偶关系156

4.4 Lie导数157

一、流形上的向量场157

二、Lie导数159

三、Lie导数的性质161

4.5 Frobenius定理162

一、预备讨论162

二、Frobenius定理165

三、外微分方程与Frobenius定理的第二种形式170

四、Frobenius定理的应用173

习题四176

第五章Lie群与Lie代数179

5.1基本概念179

一、Lie群179

二、Lie群核181

三、Lie代数183

四、变换诱导的切向量变换184

5.2 Lie群与Lie代数186

一、Lie群的Lie代数186

二、单参数Lie群189

三、Taylor展式191

5.3 Lie群的同态和同构193

一、代数系统的同态、同构和自同构193

二、Lie代数的矩阵表示195

5.4不变量196

一、不变量的定义196

二、微分不变量199

三、Killing向量场205

四、积分不变量206

5.5 Lie-Backlund变换208

一、Lie-Backlund变换208

二、Lie-Backlund变换对微分方程的应用211

三、Backlund变换212

5.6与变换群有关的某些力学问题215

一、不变量嵌入法215

二、量纲分析与相似性理论216

三、算子与分离变量219

习题五222

第六章 动力系统的几何理论224

6.1 Symplectic几何与多自由度的Hamilton动力系统224

一、相空间及其度量224

二、Poisson括弧226

三、Symplectic几何与Hamilton动力系统230

四、Hamilton-Jacobi方程233

6.2 Birkhoff系统236

一、Birkhoff方程236

二、Birkhoff方程的性质239

6.3动力系统242

一、动力系统242

二、微分动力系统所确定的流245

三、随参数变化的动力系统247

6.4动力系统的等价和等价类248

一、动力系统的等价248

二、线性动力系统在奇点邻近的等价251

三、非线性动力系统在奇点邻近的等价255

四、非自治系统的等价257

五、动力系统的稳定性261

6.5什么是分岔263

一、分岔的定义263

二、中心流形265

三、自治系统含参数解的分岔267

6.6关于线性非自治系统的等价类问题270

一、引言270

二、预备讨论271

三、线性非自治系统的等价类273

名词索引277

参考文献281