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第1章 绪论1

1.1 常微分方程的基本概念1

1.1.1 常微分方程和偏微分方程1

1.1.2 微分方程的阶数2

1.1.3 线性和非线性2

1.1.4 解和隐式解2

1.1.5 通解和特解3

1.1.6 积分曲线和方向场4

1.2 几个常微分方程应用的例子6

1.3 常微分方程发展简介10

本章学习要点13

习题113

第2章 一阶微分方程的初等解法15

2.1 变量可分离方程与分离变量法15

2.1.1 变量可分离方程15

2.1.2 可化为变量可分离方程的类型16

2.2 一阶线性微分方程与常数变易法20

2.2.1 一阶线性微分方程20

2.2.2 伯努利方程22

2.2.3 黎卡提方程22

2.3 恰当方程与积分因子法27

2.3.1 恰当方程27

2.3.2 积分因子法29

2.4 一阶隐式微分方程32

2.4.1 可解出y或x的隐式微分方程32

2.4.2 不显含y或x的隐式微分方程35

本章学习要点37

习题237

第3章 一阶微分方程的解的存在唯一性定理39

3.1 微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法39

3.1.1 微分方程解的存在唯一性定理39

3.1.2 近似计算和误差估计46

3.2 微分方程解的延拓性47

3.3 微分方程解对初值的连续性和可微性定理49

3.3.1 微分方程解对初值的连续性定理49

3.3.2 微分方程解对初值的可微性定理54

3.4 奇解56

3.4.1 包络和奇解56

3.4.2 克莱罗方程59

本章学习要点59

习题360

第4章 n阶线性微分方程61

4.1 n阶线性微分方程的一般理论61

4.1.1 n阶线性微分方程解的存在唯一性定理61

4.1.2 n阶齐次线性微分方程解的性质和结构62

4.1.3 n阶非齐次线性微分方程解的性质和结构67

4.2 n阶常系数线性微分方程的解法71

4.2.1 复值函数与复值解72

4.2.2 n阶常系数齐次线性微分方程与欧拉待定指数函数法73

4.2.3 可化为常系数齐次线性微分方程的欧拉方程的解法77

4.2.4 n阶常系数非齐次线性微分方程与比较系数法79

4.2.5 n阶常系数非齐次线性微分方程与拉普拉斯变换法85

4.3 n阶微分方程的降阶与二阶变系数线性微分方程的两种解法89

4.3.1 可降阶的微分方程类型89

4.3.2 二阶变系数齐次线性微分方程的幂级数解法92

4.3.3 二阶变系数线性微分方程的不变量解法95

本章学习要点99

习题499

第5章 线性微分方程组102

5.1 存在唯一性定理102

5.1.1 线性微分方程组的矩阵记法102

5.1.2 存在唯一性定理106

5.2 线性微分方程组的一般理论109

5.2.1 齐次线性微分方程组109

5.2.2 非齐次线性微分方程组113

5.3 常系数线性微分方程组117

5.3.1 常系数线性微分方程组解的相关概念117

5.3.2 基解矩阵的两种计算方法128

5.3.3 常系数齐次线性微分方程组的初等解法133

5.3.4 拉普拉斯变换的应用139

本章学习要点144

习题5144

第6章 定性与稳定性理论初步148

6.1 动力系统、相空间与轨线148

6.1.1 自治系统的基本概念148

6.1.2 自治系统的三个基本性质150

6.1.3 奇点与闭轨151

6.2 解的稳定性151

6.2.1 李雅普诺夫稳定性的概念151

6.2.2 按线性近似判断系统的稳定性153

6.2.3 李雅普诺夫第二方法154

6.3 平面动力系统的奇点与极限环156

6.3.1 奇点与轨线分布156

6.3.2 极限环与判定定理162

本章学习要点164

习题6164

第7章 常微分方程在数学建模中的应用166

7.1 数学模型与数学建模166

7.1.1 数学模型及其分类166

7.1.2 数学建模及建模步骤与方法167

7.2 常微分方程在数学建模中的应用168

7.2.1 常微分方程模型168

7.2.2 常微分方程模型介绍170

参考文献174