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第1章 绪论1

1.1 一些应用差分方程的例子1

1.1.1 兔子对数的递推关系1

1.1.2 从两个简单问题导出的差分方程5

1.1.3 近似计算与差分方程8

1.1.4 经济学中两个问题11

1.1.5 随机现象中概率的递推13

1.1.6 一个种群数量变化的描述15

1.2 差分方程的概念和求解16

1.2.1 差分算子及其性质17

1.2.2 初等函数的差分21

1.2.3 不定和25

1.2.4 差分方程29

1.3 简单差分方程的复杂性态31

1.3.1 差分方程的平衡解及其稳定性31

1.3.2 虫口方程的倍周期分叉35

1.3.3 一个非线性模型的混沌性态42

1.3.4 帐篷映射43

习题145

第2章 线性差分方程49

2.1 线性差分方程解的一般理论49

2.1.1 n阶线性差分方程及其解的存在唯一性49

2.1.2 函数组的线性相关52

2.1.3 齐次线性差分方程解的一般理论54

2.1.4 非齐次线性差分方程解的叠加原理57

2.2 n阶常系数线性差分方程59

2.2.1 常系数线性齐次差分方程的解59

2.2.2 常系数线性非齐次差分方程64

2.2.3 算子法70

2.2.4 可以转换为线性方程的情形72

2.2.5 线性差分方程的应用举例76

2.3 线性差分方程组81

2.3.1 线性常系数齐次差分方程组81

2.3.2 线性差分方程组的一般理论86

2.3.3 常系数线性齐次差分方程组的解90

2.3.4 线性非齐次差分方程组的解97

2.3.5 线性周期差分方程组103

2.4 线性差分方程组的应用举例107

2.4.1 Markov链107

2.4.2 两个国家的国民收入和贸易110

2.4.3 热传导方程111

习题2112

第3章 差分方程的稳定性117

3.1 解对初始值和参数的连续性117

3.1.1 向量的模117

3.1.2 差分不等式118

3.1.3 解对初始值的依赖性120

3.1.4 解对参数的依赖性122

3.2 稳定性的一些概念123

3.2.1 平衡解稳定性的定义123

3.2.2 稳定性的几个例子124

3.2.3 差分方程的比较原理128

3.2.4 动力系统130

3.3 线性差分方程平衡解的稳定性131

3.3.1 稳定性讨论的几个具体例子131

3.3.2 线性差分方程组零解的稳定性135

3.3.3 常系数线性差分方程组零解的稳定性136

3.4 稳定性研究中的线性化近似方法141

3.4.1 线性非自治方程组零解稳定性的比较方法142

3.4.2 非线性差分方程组与线性差分方程组的比较146

3.4.3 判断非线性差分方程组平衡解稳定性的线性化方法147

3.4.4 平衡解稳定性研究中的比较原理150

3.5 Liapunov直接方法151

3.5.1 Liapunov函数的定义152

3.5.2 Liapunov稳定性定理153

3.5.3 LaSalle不变性原理158

3.5.4 Liapunov不稳定性定理164

3.5.5 Liapunov函数的存在性165

3.6 差分方程模型的稳定性分析举例166

3.6.1 两阶段的种群模型166

3.6.2 一个具有时滞的种群模型平衡解的稳定性168

3.6.3 两种群相互竞争的模型170

习题3174

第4章 差分方程的分支179

4.1 平衡解的分支179

4.1.1 分支点的定义179

4.1.2 逐次消元法181

4.1.3 零因子消去法182

4.2 一维差分方程平衡解的分支184

4.2.1 鞍结点分支185

4.2.2 跨临界分支186

4.2.3 音叉分支（pitchfork bifurcation）188

4.2.4 反转分支（flip bifurcation）189

4.3 二维差分方程组平衡解和稳定性的分支191

4.3.1 常系数线性齐次方程组平衡解的稳定性和相图191

4.3.2 一个非线性差分方程组平衡解的稳定性和分支196

4.4 不变闭曲线的分支200

4.4.1 Hopf分支200

4.4.2 不变闭曲线族的分支203

4.5 生态模型中的分支206

4.5.1 Beverton-Holt模型的分支206

4.5.2 两阶段种群模型平衡解的分支207

4.5.3 p=1/4时模型（4.5.2）的Flip分支209

4.5.4 p=3/4时模型（4.5.2）的Hopf分支213

4.6 一个传染病模型的分支217

4.6.1 模型及其平衡解217

4.6.2 平衡解的稳定性220

4.6.3 模型（4.6.5）的Flip分支221

4.6.4 模型（4.6.5）的鞍结点分支225

4.6.5 模型（4.6.5）的Hopf分支227

习题4230

第5章 差分方程在生态和传染病问题中的应用233

5.1 人口和种群增长的Leslie矩阵模型233

5.1.1 模型建立233

5.1.2 模型的分析234

5.1.3 一个非线性Leslie模型238

5.1.4 具有一般结构的Liesle模型241

5.2 离散传染病模型244

5.2.1 传染病问题的重要性244

5.2.2 几个基本的离散传染病模型245

5.2.3 具有感染阶段的艾滋病模型254

5.2.4 具有感染阶段的艾滋病模型的应用260

5.3 结核病传播的差分方程模型262

5.3.1 结核的传播过程262

5.3.2 结核的流行现状264

5.3.3 结核的建模与研究情况266

5.3.4 具有季节性的结核病模型267

5.3.5 具有年龄结构的结核模型271

5.4 Beverton-Holt模型274

5.4.1 自治Beverton-Holt模型的稳定性274

5.4.2 非自治Beverton-Holt模型的周期解275

5.4.3 具有脉冲收获策略的非自治Beverton-Holt离散模型279

习题5283

附录A映射的中心流形定理287

A.1 问题的提出287

A.2 差分方程组中心流形定理的几个结论287

A.3 中心流形定理在判定平衡解稳定性时的应用举例289

A.4 中心流形定理在研究分支问题时的应用举例290

附录B 2006年中国人口的一些统计数据293

附录C 2003年北京市SARS流行期间的数据296

参考文献298

索引300