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第1章 函数、极限与连续性1

1.1 初等函数回顾1

1.1.1 函数的概念1

1.1.2 函数的几种特性1

1.1.3 初等函数2

1.1.4 反函数和复合函数6

习题1.17

1.2 极限的概念8

1.2.1 数列的极限8

1.2.2 函数的极限9

习题1.213

1.3 极限的运算法则14

1.3.1 极限的四则运算法则14

1.3.2 复合函数的极限法则16

1.3.3 函数极限的性质16

1.3.4 两个重要准则16

习题1.317

1.4 两个重要极限18

1.4.1 第一个重要极限18

1.4.2 第二个重要极限19

习题1.421

1.5 无穷小与无穷大21

1.5.1 无穷小21

1.5.2 无穷大23

1.5.3 无穷大与无穷小的关系24

1.5.4 无穷小的比较24

习题1.526

1.6 函数的连续性27

1.6.1 函数的连续性27

1.6.2 函数的间断点及其分类29

习题1.630

1.7 连续函数的四则运算与初等函数的连续性31

1.7.1 连续函数的四则运算31

1.7.2 复合函数的连续性32

1.7.3 初等函数的连续性32

1.7.4 闭区间上连续函数的性质34

习题1.735

复习题一36

第2章 导数与微分38

2.1 导数的概念38

2.1.1 导数的定义39

2.1.2 导数的几何意义41

2.1.3 可导与连续的关系41

习题2.142

2.2 导数的计算43

2.2.1 导数的基本公式43

2.2.2 导数的四则运算45

2.2.3 复合函数的导数46

2.2.4 几个求导方法48

2.2.5 高阶导数及其计算51

习题2.252

2.3 函数的微分54

2.3.1 微分的概念54

2.3.2 微分的几何意义55

2.3.3 微分运算法则56

2.3.4 近似计算57

习题2.358

复习题二59

第3章 导数的应用62

3.1 中值定理62

3.1.1 罗尔定理63

3.1.2 拉格朗日中值定理64

习题3.167

3.2 洛必达法则67

3.2.1 洛必达法则Ⅰ：（0/0型）68

3.2.2 洛必达法则Ⅱ：（∞/∞型）69

习题3.271

3.3 函数的单调性、极值与最值71

3.3.1 函数单调性的判别方法72

3.3.2 函数的极值74

3.3.3 函数的最大值与最小值76

习题3.377

3.4 函数的凹凸性与作图78

3.4.1 函数的凹凸性与拐点79

3.4.2 渐近线80

3.4.3 作初等函数的图形81

习题3.483

3.5 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍84

3.5.1 函数变化率——边际函数84

3.5.2 成本84

3.5.3 收益85

3.5.4 函数的相对变化率——函数的弹性87

3.5.5 需求函数与供给函数88

3.5.6 需求弹性与供给弹性90

3.5.7 用需求弹性分析总收益（或市场销售总额）的变化92

复习题三93

第4章 不定积分96

4.1 不定积分的概念96

4.1.1 原函数与不定积分的概念96

4.1.2 不定积分的性质97

4.1.3 不定积分的几何意义98

4.1.4 基本积分表98

习题4.1100

4.2 凑微分法100

4.2.1 凑微分法的概念101

4.2.2 凑微分法举例101

习题4.2104

4.3 变量代换法105

4.3.1 变量代换法的概念105

4.3.2 三角代换106

4.3.3 双曲代换109

4.3.4 倒代换110

4.3.5 有理代换111

习题4.3112

4.4 分部积分法112

4.4.1 分部积分公式112

4.4.2 被积函数为多项式与指数函数、三角函数乘积的情形113

4.4.3 被积函数为多项式与对数函数、反三角函数之积的情形113

4.4.4 形如∫eaxsinβxdx，∫eaxcosβxdx的积分114

4.4.5 被积函数由某些复合函数构成的情形115

习题4.4116

4.5 其他积分方法117

4.5.1 简单有理分式函数的积分117

4.5.2 三角函数有理式的积分118

4.5.3 无理函数的积分119

习题4.5120

复习题四120

第5章 定积分及其应用123

5.1 定积分的概念与性质123

5.1.1 定积分的概念124

5.1.2 定积分的几何意义125

5.1.3 定积分的性质126

习题5.1128

5.2 微积分基本定理129

5.2.1 原函数存在定理129

5.2.2 微积分基本定理（牛顿—莱布尼茨公式）131

习题5.2133

5.3 定积分的换元积分法与分部积分法134

5.3.1 凑微分法134

5.3.2 变量代换法135

5.3.3 分部积分法136

5.3.4 三角函数积分137

习题5.3138

5.4 广义积分138

5.4.1 无穷区间上的广义积分138

5.4.2 无界函数的广义积分139

习题5.4141

5.5 定积分在几何上的应用141

5.5.1 平面图形的面积141

5.5.2 旋转体的体积143

5.5.3 曲线的弧长144

习题5.5145

5.6 积分方程模型145

复习题五146

第6章 常微分方程150

6.1 常微分方程的基本概念150

6.1.1 定义151

6.1.2 可分离变量的微分方程152

6.1.3 一阶齐次微分方程153

6.1.4 高阶微分方程154

习题6.1155

6.2 一阶线性微分方程155

6.2.1 一阶线性微分方程与常数变易法155

6.2.2 一阶线性微分方程求解举例156

6.2.3 全微分方程158

6.2.4 利用伯努利方程求解159

习题6.2159

6.3 可降阶的二阶微分方程160

6.3.1 y"=f(x,y')型160

6.3.2 y"=f(y,y')型161

习题6.3162

6.4 二阶常系数线性微分方程163

6.4.1 二阶常系数线性微分方程解的性质及通解结构163

6.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法164

6.4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法167

习题6.4169

6.5 常微分方程与数学建模169

6.5.1 数学建模简介169

6.5.2 经济模型举例170

习题6.5171

复习题六171

第7章 多元函数微积分173

7.1 多元函数的基本概念173

7.1.1 多元函数的概念173

7.1.2 二元函数的极限175

7.1.3 二元函数的连续性176

7.1.4 二元连续函数在有界闭区域上的性质176

习题7.1177

7.2 偏导数177

7.2.1 偏导数概念与计算178

7.2.2 高阶偏导数180

习题7.2181

7.3 全微分182

7.3.1 全微分的定义182

7.3.2 全微分在近似计算方面的应用184

习题7.3185

7.4 多元复合函数与隐函数的求导185

7.4.1 复合函数的求导法则185

7.4.2 隐函数的求导公式189

习题7.4190

7.5 多元函数的极值和最值191

7.5.1 二元函数的极值191

7.5.2 多元函数的最值193

7.5.3 二元函数的条件极值194

习题7.5196

7.6 二重积分的概念与性质196

7.6.1 二重积分的概念197

7.6.2 二重积分的性质198

习题7.6200

7.7 二重积分的计算与应用200

7.7.1 直角坐标系下二重积分的计算200

7.7.2 极坐标系下二重积分的计算205

7.7.3 二重积分的应用208

习题7.7210

复习题七211

第8章 无穷级数213

8.1 无穷级数的概念和性质213

8.1.1 无穷级数的基本概念213

8.1.2 无穷级数的基本性质215

习题8.1216

8.2 数项级数的审敛法217

8.2.1 正项级数及其审敛法217

8.2.2 交错级数审敛法221

8.2.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛221

习题8.2222

8.3 函数项级数与幂级数223

8.3.1 函数项级数的概念223

8.3.2 幂级数及其收敛区间的求法224

8.3.3 幂级数的四则运算226

8.3.4 幂级数的分析运算227

习题8.3230

8.4 函数展开成幂级数230

8.4.1 泰勒级数231

8.4.2 函数展开成幂级数的直接展开法231

8.4.3 函数展开成幂级数的间接展开法232

习题8.4234

复习题八234

附录——积分表237

参考答案245