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第1篇 数理逻辑3

第1章 命题逻辑3

1.1命题及其表示3

1.1.1命题的基本概念3

1.1.2命题分类4

1.1.3命题标识符4

1.2逻辑联结词5

1.2.1否定联结词5

1.2.2合取联结词5

1.2.3析取联结词6

1.2.4条件联结词7

1.2.5双条件联结词8

1.3命题公式与翻译8

1.3.1命题公式8

1.3.2命题的符号化9

1.4真值表与命题公式分类10

1.4.1真值表10

1.4.2命题公式分类12

1.5等价式与蕴含式13

1.5.1等价式13

1.5.2蕴含式17

1.6逻辑联结词与联结词组20

1.6.1其他逻辑联结词20

1.6.2最小功能完备联结词组23

1.7对偶式与范式24

1.7.1对偶式与对偶原理24

1.7.2命题公式的范式25

1.7.3命题公式的主析取范式和主合取范式27

1.8命题逻辑的推理理论35

1.8.1推理规则36

1.8.2推理定律36

1.8.3推理方法37

本章小结41

习题41

第2章 谓词逻辑48

2.1个体、谓词和量词48

2.1.1个体和谓词48

2.1.2量词51

2.2谓词公式与翻译52

2.2.1谓词公式52

2.2.2谓词逻辑的翻译53

2.3约束变元与自由变元54

2.4谓词公式的解释与分类56

2.4.1谓词公式的解释56

2.4.2谓词公式的分类58

2.5谓词逻辑的等价式与蕴含式59

2.5.1谓词逻辑的等价式59

2.5.2谓词逻辑的蕴含式63

2.6谓词公式范式64

2.6.1前束范式64

2.6.2斯柯林范式66

2.7谓词逻辑的推理理论66

2.7.1推理定律66

2.7.2推理规则67

2.7.3推理方法69

本章小结72

习题72

第2篇 集合论79

第3章 集合与关系79

3.1集合的概念和表示法79

3.1.1集合与元素79

3.1.2集合间的关系80

3.1.3幂集82

3.1.4集合的数码表示83

3.2集合的运算84

3.2.1集合的几种基本运算84

3.2.2集合运算的文氏图表示84

3.2.3集合的运算定律85

3.3有限集合中元素的计数86

3.3.1文氏图法86

3.3.2容斥原理法87

3.4序偶与笛卡尔积89

3.4.1序偶89

3.4.2笛卡尔积90

3.5关系及其表示92

3.5.1关系的定义93

3.5.2关系的表示94

3.6复合关系和逆关系96

3.6.1复合关系96

3.6.2逆关系99

3.7关系的性质与表示方法100

3.7.1关系的性质100

3.7.2关系图、关系矩阵与关系的性质101

3.8关系的闭包运算104

3.9集合的划分与等价关系108

3.9.1集合的划分和覆盖108

3.9.2等价关系与等价类110

3.9.3相容关系113

3.10偏序关系115

3.10.1偏序关系的定义115

3.10.2偏序关系的哈斯图116

3.10.3偏序集中特殊的元素118

3.10.4两种特殊的偏序集120

本章小结120

习题121

第4章 函数129

4.1函数的基本概念129

4.2特殊的函数及特征函数131

4.2.1特殊性质的函数131

4.2.2特征函数132

4.3逆函数与复合函数133

4.3.1逆函数133

4.3.2复合函数134

4.4集合的势与无限集合136

4.4.1集合的势136

4.4.2可数集137

本章小结139

习题139

第3篇 代数系统143

第5章 代数系统143

5.1代数系统的概念143

5.1.1运算的概念143

5.1.2代数系统的概念144

5.2二元运算145

5.2.1二元运算的性质145

5.2.2集合上关于二元运算的特异元素146

5.2.3利用运算表判断代数运算的性质148

5.3半群与独异点149

5.3.1半群及其性质149

5.3.2含幺半群及其性质150

5.4群与子群151

5.4.1群的基本概念151

5.4.2群的基本性质152

5.4.3群的元素的阶154

5.4.4子群及其判定定理154

5.5同态与同构155

5.6特殊群158

5.6.1阿贝尔群158

5.6.2循环群158

5.6.3置换群160

5.7 Lagrange定理与正规子群162

5.7.1陪集与Lagrange定理162

5.7.2正规子群、商群164

5.8环与域166

5.8.1环166

5.8.2域168

5.9群在编码理论中的应用169

本章小结174

习题175

第6章 格与布尔代数180

6.1格的概念及性质180

6.1.1格的概念180

6.1.2格的性质182

6.2分配格与模格188

6.2.1分配格188

6.2.2模格190

6.3有界格与有补格191

6.3.1有界格191

6.3.2有补格192

6.4布尔代数193

6.4.1布尔代数的概念193

6.4.2布尔代数的性质195

6.4.3子布尔代数198

6.4.4布尔代数的同态与同构199

6.4.5有限布尔代数的原子表示199

6.5布尔表达式与布尔函数203

6.5.1布尔表达式203

6.5.2布尔函数207

6.6布尔函数在电路设计中的应用207

本章小结209

习题209

第4篇 图论213

第7章 图论213

7.1图的基本概念213

7.1.1图的定义213

7.1.2子图与补图214

7.1.3结点的度216

7.1.4图的同构219

7.2路、回路与连通性220

7.2.1路与回路220

7.2.2图的连通性220

7.3图的矩阵表示223

7.3.1邻接矩阵223

7.3.2可达矩阵225

7.3.3关联矩阵227

7.4欧拉图与哈密尔顿图229

7.4.1欧拉图229

7.4.2哈密尔顿图232

7.5二部图及匹配234

7.5.1二部图234

7.5.2匹配235

7.6平面图237

7.6.1平面图定义237

7.6.2欧拉公式238

7.6.3平面图的对偶与着色240

7.7树与生成树243

7.7.1无向树的定义与性质243

7.7.2无向图中的生成树与最小生成树244

7.8根树及其应用246

7.8.1有向树246

7.8.2 m叉树247

7.8.3最优二叉树249

7.8.4二叉树在计算机中的应用250

7.9最短路径问题251

7.9.1问题的提出251

7.9.2 Dijkstra算法251

本章小结253

习题253

参考文献262