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第一章　微分几何导引1

1.1 曲线坐标系 最简单的例子1

1.1.1　引论1

目录1

1.1.2　笛卡儿坐标和曲线坐标2

1.1.3　曲线坐标系的最简单例子6

1.2　在曲线坐标系中曲线的长9

1.2.1　在欧氏坐标系中曲线的长9

1.2.2　在曲线坐标系中曲线的长10

1.2.3　在欧氏空间区域中黎曼度量的概念13

1.2.4　不定度量15

1.3　球面和平面上的几何17

1.4 伪球面和лобачевский几何21

2.1.1　度量空间33

第二章　一般拓扑33

2.1 度量空间和拓扑空间的定义及最简单性质33

2.1.2　拓扑空间34

2.1.3　连续映射35

2.1.4　商拓扑37

2.2　连通性　分离公理38

2.2.1　连通性38

2.2.2　分离公理40

2.3 紧致空间41

2.3.1　紧致空间41

2.3.2　紧致空间的性质42

2.3.3　紧致的度量空间42

2.4　函数的可分离性　1的分解43

2.3.4　在紧致空间上的运算43

2.4.1　函数的可分离性44

2.4.2　1的分解45

第三章　光滑流形（一般理论）47

3.1　流形的概念48

3.1.1　基本的定义48

3.1.2　坐标变换函数　光滑流形的定义51

3.1.3　光滑流形　微分同胚53

3.2 用方程给出流形55

3.3　切向量　切空间59

3.3.1　简单的例子59

3.3.2　切向量的一般定义61

3.3.3　切空间Tp0(M)62

3.3.4　函数的方向导数63

3.3.5　切丛65

3.4 子流形67

3.4.1　光滑映射的微分67

3.4.2　映射的局部性质和微分69

3.4.3　流形在欧氏空间的嵌入70

3.4.4　流形上的黎曼度量71

3.4.5　Sard定理73

第四章　光滑流形（例）76

4.1 平面曲线论和三维空间中的曲线论76

4.1.1　平面曲线论　Frenet公式76

4.1.2　空间曲线论　Frenet公式80

4.2　曲面 第一和第二基本形式85

4.2.1　第一基本形式85

4.2.2　第二基本形式87

4.2.3　超曲面上光滑曲线的初等理论91

4.2.4　二维曲面的Gauss曲率和平均曲率95

4.3 变换群102

4.3.1　变换群的简单例子102

4.3.2　矩阵的变换群111

4.3.3　完全线性群112

4.3.4　特殊线性群113

4.3.5　正交群113

4.3.6　酉群和特殊酉群114

4.3.7　非紧致辛群和紧致辛群117

4.4　动力系统120

4.5.1　带边流形130

4.5　二维曲面的分类130

4.5.2　可定向流形131

4.5.3　二维流形的分类132

4.6 作为二维流形的代数函数的黎曼曲面142

第五章　张量分析与黎曼几何151

5.1 流形上张量场的一般概念151

5.2　张量场的简单例子155

5.2.1　例155

5.2.2　张量的代数运算158

5.2.3　反对称张量160

5.3　联络和共变微分166

5.3.1　仿射联络的定义和性质166

5.3.2　黎曼联络171

5.4.1　预先的观察174

5.4　平行移动　测地线174

5.4.2　平行移动的方程175

5.4.3　测地线177

5.5　曲率张量184

5.5.1　预先的观察184

5.5.2　曲率张量的坐标定义184

5.5.3　曲率张量的不变的定义185

5.5.4　黎曼曲率张量的代数性质186

5.5.5　黎曼曲率张量的某些应用189

第六章　同调论192

6.1 外微分形式的演算　上同调193

6.1.1　外微分形式的微分193

6.1.2　光滑流形的上同调（De Ram上同调）196

6.1.3　上同调群的拓扑性质199

6.2　外形式的积分202

6.2.1　微分形式在流形上的积分202

6.2.2　Stokes公式203

6.3 映射度及其应用206

6.3.1 映射度206

6.3.2　代数基本定理207

6.3.3　形式的积分208

6.3.4　超曲面的Gauss映射208

第七章　黎曼几何的简单变分问题211

7.1 泛函的概念　极值函数　Euler方程211

7.2　测地线的极值性216

7.3　极小曲面219

7.4 变分法和辛几何221

译者后记233