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第1章 广义函数与Sobolev空间1

1.1广义函数的基本概念、基本空间1

1.1.1引言1

1.1.2基本空间C∞（Rn），C∞c（Rn）4

1.1.3函数的正则化、平均算子5

1.1.4基本空间y（Rn）7

习题9

1.2广义函数及其运算10

1.2.1 ？′（Rn），y′（Rn），ε′（Rn）广义函数10

1.2.2广义函数的支集13

1.2.3广义函数的极限16

1.2.4广义函数的导数18

1.2.5广义函数的乘子22

1.2.6广义函数的自变量变换23

1.2.7广义函数的卷积23

习题26

1.3 Fourier变换28

1.3.1 y（Rn）空间上的Fourier变换28

1.3.2 y′（Rn）空间上的Fourier变换32

1.3.3紧支集广义函数的Fourier变换36

1.3.4拟微分算子39

习题41

1.4 Sobolev空间42

1.4.1非负整指数Sobolev空间Hm，p42

1.4.2负整指数Sobolev空间48

1.4.3实指数Sobolev空间50

1.4.4 Hm（Ω）函数的延拓52

1.4.5微分流形上的Sobolev空间55

习题56

1.5嵌入定理、迹定理57

1.5.1嵌入定理57

1.5.2紧嵌入定理63

1.5.3迹定理66

习题70

第2章 偏微分方程的一般理论72

2.1一般概念、特征与分类72

2.1.1偏微分方程的一般概念72

2.1.2特征73

2.1.3偏微分方程的分类75

习题76

2.2存在性定理77

2.2.1 Cauchy-Kowalevskaya定理77

2.2.2 Cauchy-Kowalevskaya定理的证明80

2.2.3初始资料给在一般曲面上的情形84

2.2.4 Lewy反例86

习题87

2.3唯一性与稳定性88

2.3.1 Holmgren定理88

2.3.2 Holmgren定理的应用92

2.3.3稳定性93

习题94

2.4基本解95

2.4.1基本解的概念95

2.4.2偏微分方程的基本解97

2.4.3 Cauchy问题的基本解101

2.4.4基本解在解的正则性研究中的应用104

习题106

第3章 椭圆型方程107

3.1椭圆型方程边值问题的广义解107

3.1.1 Dirichlet问题的广义解107

3.1.2第二、第三边值问题的广义解109

习题111

3.2椭圆型方程边值问题的可解性111

3.2.1先验估计111

3.2.2算子-L＋λ的可逆性114

3.2.3两择性定理115

3.2.4特征值问题119

3.2.5 Laplace算子的特征值与特征函数121

习题124

3.3解的正则性124

3.3.1差商算子及其性质124

3.3.2半空间上椭圆型方程的Dirichlet问题127

3.3.3一般区域的情形131

3.3.4内正则性定理133

习题135

3.4高阶椭圆型方程135

3.4.1高阶椭圆型方程的定义135

3.4.2先验估计137

3.4.3两择性定理与正则性定理141

习题142

第4章 双曲型方程143

4.1能量不等式、解的唯一性和稳定性143

4.1.1二阶双曲型方程的定解问题143

4.1.2初边值问题的能量不等式144

4.1.3 Cauchy问题的能量不等式147

4.1.4扰动的有限传播速度150

习题150

4.2 Cauchy问题解的存在性150

4.2.1高阶能量不等式151

4.2.2解析逼近法152

习题155

4.3初边值问题解的存在性155

4.3.1取值于Banach空间的函数155

4.3.2 Galerkin方法157

4.33附注164

习题165

4.4对称双曲组165

4.4.1对称双曲组及其Cauchy问题165

4.4.2对称双曲组Cauchy问题的能量不等式167

4.4.3初边值问题的能量不等式170

习题171

4.5正对称方程组172

4.5.1正对称算子172

4.5.2强解与弱解175

4.5.3强解的唯一性与弱解的存在性176

4.5.4强解与弱解的一致性179

习题185

第5章 抛物型方程与算子半群方法187

5.1抛物型方程及其能量不等式187

5.1.1抛物型方程的定解问题187

5.1.2能量不等式188

5.1.3用Galerkin方法解初边值问题189

习题192

5.2算子半群与无穷小生成元192

5.2.1算子半群方法的基本思想192

5.2.2无穷小生成元194

5.2.3线性压缩算子半群的存在性与唯一性196

5.2.4一般线性算子半群的情形200

习题202

5.3算子半群方法的应用202

5.3.1增生算子202

5.3.2对抛物型方程初边值问题的应用203

5.3.3对双曲型方程初边值问题的应用207

习题211

参考文献212

索引214

《大学数学科学丛书》已出版书目217