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绪论 微积分纵览1

第1章 函数·极限·连续4

1.1 函数及其性质4

1.1.1 函数的概念4

1.1.2 函数的表示法6

1.1.3 函数的几种特性6

1.1.4 反函数与复合函数8

习题1.110

1.2 初等函数11

1.2.1 基本初等函数11

1.2.2 初等函数14

习题1.214

1.3 数学建模方法概述15

习题1.316

1.4 极限概念与性质17

1.4.1 数列的极限17

1.4.2 函数的极限19

习题1.423

1.5 极限的运算23

1.5.1 极限运算法则23

1.5.2 两个重要极限26

1.5.3 无穷小与无穷大31

1.5.4 曲线的渐近线35

习题1.536

1.6 函数的连续性37

1.6.1 连续性概念37

1.6.2 函数的间断点及其分类39

1.6.3 初等函数的连续性40

1.6.4 闭区间上连续函数的性质41

习题1.642

复习题143

第2章 导数与微分46

2.1 导数的概念及其计算46

2.1.1 导数的概念46

2.1.2 导数的计算48

2.1.3 可导、连续和一般极限的关系54

2.1.4 变化率模型54

习题2.156

2.2 隐函数的导数、二阶导数57

2.2.1 隐函数的导数57

2.2.2 二阶导数59

习题2.260

2.3 微分及其在近似计算中的应用61

2.3.1 线性近似公式61

2.3.2 微分概念62

2.3.3 微分的几何意义63

2.3.4 微分的运算法则63

习题2.364

复习题265

第3章 导数的应用67

3.1 用导数求极限——洛必达法则67

习题3.170

3.2 函数的单调性、极值与最值70

3.2.1 曲线的切线与函数的单调性70

3.2.2 函数的极值与最值73

习题3.278

3.3 曲线的凹凸性与函数作图79

3.3.1 曲线的凹凸性79

3.3.2 函数作图81

习题3.382

3.4 微分学在经济中的应用83

3.4.1 常用的经济函数83

3.4.2 边际分析85

3.4.3 弹性与弹性分析86

习题3.487

复习题387

第4章 不定积分91

4.1 不定积分的概念与直接积分法91

4.1.1 原函数与不定积分的概念91

4.1.2 基本积分公式93

4.1.3 不定积分的运算性质93

习题4.195

4.2 换元积分法与分部积分法95

4.2.1 换元积分法96

4.2.2 分部积分法102

习题4.2105

4.3 积分表的使用105

习题4.3107

复习题4107

第5章 定积分及其应用109

5.1 定积分的概念与性质109

5.1.1 问题提出109

5.1.2 定积分概念111

5.1.3 定积分的性质113

习题5.1115

5.2 定积分的计算115

5.2.1 牛顿-莱布尼茨公式115

5.2.2 定积分的换元积分法117

5.2.3 定积分的分部积分法120

习题5.2121

5.3 广义积分121

习题5.3124

5.4 定积分的应用124

5.4.1 平面图形的面积124

5.4.2 微元法126

5.4.3 平行截面面积为已知的立体的体积126

5.4.4 定积分在物理上的应用130

5.4.5 定积分在经济上的应用132

习题5.4135

复习题5135

第6章 多元函数微积分138

6.1 多元函数的概念及二元函数的极限与连续139

6.1.1 平面上的点集139

6.1.2 多元函数的概念140

6.1.3 二元函数的极限143

6.1.4 二元函数的连续性144

习题6.1145

6.2 偏导数与全微分146

6.2.1 偏导数的定义及其计算146

6.2.2 偏导数的几何意义及经济上的应用148

6.2.3 二阶偏导数149

6.2.4 全微分及其应用150

习题6.2152

6.3 多元复合函数与隐函数的求导法则153

6.3.1 多元复合函数的求导法则153

6.3.2 隐函数的求导法则154

习题6.3156

6.4 多元函数偏导数的应用156

6.4.1 多元函数的极值156

6.4.2 多元函数的最值158

6.4.3 条件极值和拉格朗日乘数法160

6.4.4 最小二乘法163

习题6.4165

6.5 二重积分的概念与性质166

6.5.1 从曲边梯形的面积到曲顶柱体的体积166

6.5.2 二重积分的定义167

6.5.3 二重积分的性质168

习题6.5169

6.6 二重积分的计算及其应用169

6.6.1 直角坐标系下二重积分的计算169

6.6.2 极坐标下二重积分的计算174

6.6.3 二重积分的应用177

习题6.6179

复习题6180

第7章 微分方程182

7.1 微分方程的基本概念182

7.1.1 微分方程的定义182

7.1.2 微分方程的解184

习题7.1185

7.2 一阶微分方程186

7.2.1 可分离变量的微分方程186

7.2.2 齐次微分方程187

7.2.3 一阶线性微分方程189

习题7.2192

7.3 可降阶的高阶微分方程193

习题7.3195

7.4 一阶微分方程应用举例195

7.5 二阶线性微分方程200

7.5.1 二阶线性微分方程解的结构200

7.5.2 二阶常系数齐次线性微分方程的通解求法——特征方程法201

习题7.5204

7.6 二阶常系数线性微分方程应用举例204

复习题7207

第8章 无穷级数209

8.1 常数项级数的概念和性质210

8.1.1 常数项级数的概念210

8.1.2 收敛级数的基本性质212

习题8.1213

8.2 常数项级数的审敛法214

8.2.1 正项级数及其收敛判别法214

8.2.2 交错级数及其收敛判别法219

8.2.3 绝对收敛与条件收敛219

习题8.2221

8.3 幂级数222

8.3.1 函数项级数的概念222

8.3.2 幂级数的概念及其收敛域223

8.3.3 幂级数的运算性质与和函数226

习题8.3228

8.4 函数的幂级数展开228

8.4.1 从几何级数谈起228

8.4.2 泰勒级数229

8.4.3 函数的泰勒级数展开法230

8.4.4 幂级数的应用232

习题8.4235

8.5 傅里叶级数235

8.5.1 三角函数系的正交性236

8.5.2 以2π为周期的函数的傅里叶级数展开237

8.5.3 奇偶函数的傅里叶级数239

习题8.5241

复习题8241

第9章 数学实验243

9.1 Mathematica简介243

9.1.1 Mathematica的启动和运行243

9.1.2 表达式的输入246

9.1.3 Mathematica的联机帮助系统247

9.1.4 数据类型和常数248

9.1.5 函数250

9.1.6 常用的符号252

9.1.7 Mathematica的基本运算252

9.2 函数作图256

9.2.1 基本的二维图形256

9.2.2 图形的样式261

9.2.3 基本三维图形261

9.3 微积分的基本操作264

9.3.1 极限264

9.3.2 导数与微分264

9.3.3 计算积分265

9.3.4 多变量函数的微分268

9.3.5 多变量函数的积分（重积分）269

9.4 微分方程的求解270

附录A 习题答案与提示272

附录B 高等数学中常用初等数学公式288

附录C 常用积分公式292

参考文献301