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第1章 绪论1

1.1 应用范围1

1.2 简要回顾4

1.3 局部平均及其极值7

第2章 随机场分析基础11

2.1 随机场的类型11

2.2 概率基本描述15

初等概率论概述15

随机变量17

概念推广至随机场20

随机变量的变换20

2.3 期望与条件期望26

单个随机变量的期望26

涉及两个随机变量的期望28

随机向量的协方差矩阵29

协方差、相关函数和互协方差函数30

涉及多个随机变量的期望31

条件期望32

几何平均及其相关统计量33

2.4 特征函数33

特征函数33

累积量函数35

2.5 高斯及其相关的概率分布36

高斯（或正态）分布36

多维高斯分布37

条件高斯分布40

对数正态分布41

随机距离的分布43

中心极限定理43

2.6 最优线性预测与更新44

经典估计问题44

二元线性估计47

多元线性估计48

2.7 纯随机场和马尔可夫过程49

纯随机场50

涉及独立增量之和的随机场52

泊松过程及其相关随机场55

马尔可夫过程与扩散理论57

2.8 基于量子物理的新型概率分布60

“量子质量比”的统计及其对数60

“量子尺寸比”的统计量66

相关概率模型族67

第3章 均匀随机场的二阶分析69

3.1 引言、概念与符号69

随机场的二阶描述69

低维随机场（或随机过程）70

象限对称性70

谱密度和相关函数的矩70

3.2 均匀随机场的相关函数71

基本性质和对称性71

象限对称性72

象限对称协方差函数的几个重要类型72

两个耦合随机场的互协方差函数74

3.3 一维随机过程的谱表示74

引言74

Wiener-Khinchine关系75

单边谱密度函数76

累积谱与标准化谱77

更规范的谱表示78

互谱79

离散参数随机过程的谱79

3.4 均匀随机场的谱分析82

二维问题82

Wiener-Khinchine关系83

象限对称情况84

方向依赖的一维随机波动85

累积谱和标准化谱85

几类特殊情形86

向多维情形的推广88

3.5 不变线性系统的输入-输出关系92

系统描述92

线性系统的均匀随机响应93

网格系统的类似结果96

3.6 随机场的导数和局部积分97

偏导数的统计量97

均方可微条件99

随机场的局部积分101

网格场的类似结果104

3.7 移动平均和自回归模型105

一维自回归（马尔可夫）相关模型105

空间上的一阶自回归模型106

高阶自回归马尔可夫模型108

线性振子在白噪声激励下的响应108

直线上的移动平均相关模型109

矩形域、球域和椭圆域内的移动平均110

自回归移动平均模型111

3.8 空间-时间相关结构：基本关系111

二阶统计量111

依赖于频率的空间相关函数112

二阶分析的四种形式113

依赖于频率的波数谱114

象限对称的情形114

关于圆和球谐函数的说明115

第4章 谱参数，水平穿越与极值117

4.1 谱矩及相关参数117

一维谱参数的定义117

谱分布函数的边界119

S（ω1，ω2）的联合谱矩119

n维随机场的联合谱矩121

4.2 偏微分的统计量122

4.3 基本包络统计量124

一维包络的两种定义125

一维包络统计量126

n维高斯随机场的包络127

4.4 阈值穿越统计与极值130

平均阈值穿越率130

局部极大值的平均出现率及其概率分布130

在阈值上/下的平均停留时间132

包络穿越统计量133

阈值穿越与局部极大值的成丛性134

极大值的概率分布135

4.5 穿越区域的期望大小137

二维情形138

多维情形139

4.6 水平穿越和极值的统计量140

高界限值的局部极大值的平均出现率141

成丛趋势因子142

随机场的最大值的概率分布143

4.7 通用相关模型的谱参数144

低通白噪声145

具有随机相位角的正弦波145

有限带宽分形噪声或1/f噪声146

一族自回归相关模型147

白噪声激励下简谐振子的响应148

指数衰减型谱密度函数149

4.8 在非均匀随机场中的推广150

第5章 一维局部平均过程153

5.1 方差函数和涨落尺度153

方差函数153

涨落尺度156

方差函数的另一种形式158

方差函数的若干解析模型159

方差函数的推荐近似表达式160

历史注释161

5.2 涨落尺度的频域解释161

γ（T）和g（ω）之间的关系161

频率原点附近g（ω）的特点162

两族相关模型的结果163

“θ=0”的窄带过程的方差函数165

5.3 局部积分或局部平均的协方差167

局部积分的代数关系167

局部积分或局部平均之间的相关性168

点值与局部平均之间的协方差170

按局部平均进行分解171

局部平均过程的协方差函数172

5.4 均方导数和谱矩173

均方导数的存在性173

局部平均过程的均方导数174

谱矩和谱带宽176

5.5 水平穿越与极值统计量178

平均上穿率179

极值分布179

水平穿越的其他统计量180

5.6 不变性与再生性180

线性变换的不变性180

局部平均的不变性181

再生性182

白噪声和泊松过程的相关结果183

5.7 随机序列和点过程的类似结果184

随机序列：方差函数184

涨落尺度185

移动平均的协方差185

5.8 涨落尺度在最优采样中的作用186

5.9 复合随机过程与尺度谱188

基本关系188

复合随机过程模型的推广190

尺度谱191

第6章 二维局部平均过程195

6.1 方差函数和相关性测度195

s（ω1，ω2）在频域零点附近的特征197

单向随机波动199

6.2 重要特例200

相关结构象限对称200

相关结构可分200

各向同性相关结构201

椭圆相关结构202

6.3 条件方差函数和涨落尺度203

条件方差函数203

条件涨落尺度204

更为严谨的二阶描述208

6.4 局部平均的协方差210

随机有限元分析211

局部平均的协方差函数212

联合谱矩214

6.5 水平穿越和极值的统计量215

方向依赖的局部平均过程的水平穿越215

穿越高阈值的区域平均大小216

超过高阈值水平的局部最大值的平均出现率217

6.6 二维均匀随机场的不变量217

线性变换的不变性217

空间局部平均下的不变性218

二维白噪声218

6.7 空间-时间过程：频率依赖的涨落尺度219

背景219

频率依赖的空间涨落尺度220

物理解释221

频率依赖的空间涨落尺度的性质222

二维空间-时间相关结构举例224

6.8 空间-时间过程：频率依赖的方差函数226

第7章 多维局部平均过程229

7.1 方差函数与相关性测度230

低阶相关性测度233

三维情形233

线性变换下的不变性235

复合随机场和多尺度随机场236

7.2 条件方差函数和相关性测度237

相关涨落尺度238

向n维随机场的推广240

相关结构的极限形式241

7.3 频率依赖的空间变异性242

频率依赖的空间相关性测度243

频率依赖的相关性测度的函数形式244

频率依赖的方差函数246

7.4 几类易于处理的空间-时间相关模型248

三维空间-时间过程族248

四维空间-时间过程族249

7.5 局部平均的协方差250

一般关系式250

三维情形251

局部平均场的协方差函数252

7.6 随机有限元分析253

最佳线性估计254

7.7 局部平均场的偏导数256

三维情形256

n维情形257

7.8 高阈值穿越与极值的统计258

五步推导258

高斯随机场259

Rayleigh包络场260

关于极大值的Gumbel分布260

多尺度随机场的极值261

第8章 总结263

引言263

定义和记号264

谱带宽因子265

阈值穿越与极值统计量266

一维随机过程的局部平均理论266

均匀随机场的局部平均理论268

重要的有关概念和方法269

基于量子物理的随机变量和随机场271

参考文献273

索引283