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第十五章 曲线积分·斯蒂尔切斯积分1

1．第一型曲线积分1

543．第一型曲线积分的定义1

544．约化为普通定积分3

545．例5

2．第二型曲线积分8

546．第二型曲线积分的定义8

547．第二型曲线积分的存在与计算10

548．闭路的情形·平面的定向12

549．例14

550．用取在折线上的积分的逼近法17

551．用曲线积分计算面积18

552．例20

553．两不同型曲线积分间的联系23

554．物理问题25

3．曲线积分与道路无关的条件29

555．与全微分相关问题的提出29

556．与道路无关积分的微分法30

557．用原函数来计算曲线积分32

558．恰当微分的判别与在矩形区域的情况下原函数的求法33

559．推广到任意区域的情形34

560．最终结果37

561．沿闭路的积分37

562．非单连通区域或有奇点的情形38

563．高斯积分42

564．三维的情形44

565．例46

566．物理问题的应用50

4．有界变差函数52

567．有界变差函数的定义52

568．有界变差函数类54

569．有界变差函数的性质56

570．有界变差函数的判定法59

571．连续的有界变差函数61

572．可求长曲线63

5．斯蒂尔切斯积分65

573．斯蒂尔切斯积分的定义65

574．斯蒂尔切斯积分存在的一般条件66

575．斯蒂尔切斯积分存在的若干种情况67

576．斯蒂尔切斯积分的性质70

577．分部积分法71

578．化斯蒂尔切斯积分为黎曼积分72

579．斯蒂尔切斯积分的计算74

580．例77

581．斯蒂尔切斯积分的几何说明82

582．中值定理，估计值83

583．斯蒂尔切斯积分记号下面的极限过程85

584．例题及补充87

585．化第二型曲线积分为斯蒂尔切斯积分91

第十六章 二重积分93

1．二重积分的定义及简单性质93

586．柱形长条体积的问题93

587．化二重积分为逐次积分94

588．二重积分的定义96

589．二重积分存在的条件97

590．可积函数类98

591．下积分及上积分作为极限100

592．可积函数与二重积分的性质101

593．积分当作区域的可加函数，对区域的微分法103

2．二重积分的计算106

594．在矩形区域的情况下化二重积分为逐次积分106

595．例109

596．在曲边区域的情况下化二重积分为逐次积分116

597．例118

598．力学应用129

599．例131

3．格林公式137

600．格林公式的推演137

601．应用格林公式到曲线积分的研究140

602．例题及补充141

4．二重积分中的变量变换143

603．平面区域的变换143

604．例146

605．曲线坐标中面积的表示法150

606．补充说明152

607．几何推演154

608．例155

609．二重积分中的变量变换163

610．与单积分的相似处，在定向区域上的积分164

611．例165

5．反常二重积分171

612．展布在无界区域上的积分171

613．反常二重积分的绝对收敛性定理173

614．化二重积分为逐次积分175

615．无界函数的积分177

616．反常积分中的变量变换178

617．例179

第十七章 曲面面积·曲面积分193

1．双侧曲面193

618．曲面的侧193

619．例194

620．曲面和空间的定向196

621．法线方向余弦公式中符号的选择197

622．分片光滑曲面的情形198

2．曲面面积199

623．施瓦茨的例子199

624．曲面面积的定义201

625．附注201

626．曲面面积的存在及其计算203

627．用内接多面形的接近法207

628．面积定义的特殊情况208

629．例209

3．第一型曲面积分222

630．第一型曲面积分的定义222

631．化为寻常的二重积分222

632．第一型曲面积分在力学上的应用224

633．例226

4．第二型曲面积分231

634．第二型曲面积分的定义231

635．最简单的特殊情形233

636．一般情形235

637．证明的细节237

638．用曲面积分表立体体积238

639．斯托克斯公式241

640．例243

641．斯托克斯公式在研究空间曲线积分上的应用248

第十八章 三重积分及多重积分250

1．三重积分及其计算250

642．立体质量计算的问题250

643．三重积分及其存在的条件251

644．可积函数与三重积分的性质252

645．展布在平行六面体上的三重积分的计算254

646．在任何区域上的三重积分的计算255

647．反常三重积分257

648．例257

649．力学应用263

650．例264

2．高斯-奥斯特洛格拉得斯基公式271

651．高斯-奥斯特洛格拉得斯基公式271

652．高斯-奥斯特洛格拉得斯基公式应用于曲面积分的研究273

653．高斯积分274

654．例276

3．三重积分中的变量变换279

655．空间的变换及曲线坐标279

656．例280

657．曲线坐标下的体积表示法282

658．补充说明284

659．几何推演285

660．例287

661．三重积分中的变量变换293

662．例294

663．立体的吸引力及在内点上的位势298

4．场论初步300

664．纯量及向量300

665．纯量场及向量场301

666．梯度302

667．向量通过曲面的流量303

668．高斯-奥斯特洛格拉得斯基公式·散度305

669．向量的环流量·斯托克斯公式·旋度305

670．特殊的场307

671．向量分析的逆问题310

672．应用311

5．多重积分315

673．两立体间的引力及位势问题315

674．n维立体的体积．n重积分317

675．n重积分中的变量变换318

676．例321

第十九章 傅里叶级数341

1．导言341

677．周期量与调和分析341

678．欧拉-傅里叶确定系数法343

679．正交函数系345

680．三角插值法349

2．函数的傅里叶级数展开式351

681．问题的提出·狄利克雷积分351

682．第一基本引理353

683．局部化定理355

684．迪尼与利普希茨的傅里叶级数收敛性的判别法355

685．第二基本引理358

686．狄利克雷-若尔当判别法360

687．非周期函数的情形361

688．任意区间的情形362

689．只含余弦或正弦的展开式363

690．例366

691．lnΓ（x）的展开式378

3．补充381

692．系数递减的级数381

693．三角级数借助于复变量解析函数的求和法386

694．例388

695．傅里叶级数的复数形式392

696．共轭级数395

697．多重傅里叶级数397

4．傅里叶级数的收敛特性399

698．对于基本引理的几点补充399

699．傅里叶级数一致收敛性的判别法401

700．傅里叶级数在不连续点附近的性质；特殊情形404

701．任意函数的情形408

702．傅里叶级数的奇异性质·预先的说明410

703．奇异性质的作法412

5．与函数可微分性相关的余项估值414

704．函数与其导数的傅里叶系数间之关系414

705．在有界函数情形时部分和的估值415

706．函数有k阶有界导数时余项的估值416

707．函数有有界变差的k阶导数的情形418

708．函数及其导数的不连续性对于傅里叶系数的无穷小阶的影响420

709．在区间［0，π］上给出函数时的情形423

710．分离奇异性质法425

6．傅里叶积分432

711．傅里叶积分作为傅里叶级数的极限情形432

712．预先的说明434

713．充分判别法435

714．基本假设的变形437

715．傅里叶公式的各种形式439

716．傅里叶变换440

717．傅里叶变换的若干性质442

718．例题与补充443

719．二元函数的情形449

7．应用450

720．用行星的平均近点角所作出的它的偏近点角的表示式450

721．弦振动的问题452

722．在有限长杆上的热传导问题456

723．无穷长杆的情形459

724．边界条件的变形461

725．在圆盘上的热传导462

726．实用调和分析·十二个纵坐标的方法463

727．例466

728．二十四个纵坐标的方法469

729．例470

730．傅里叶系数的近似值与精确值的比较471

第二十章 傅里叶级数（续）474

1．傅里叶级数的运算．完全性与封闭性474

731．傅里叶级数的逐项积分法474

732．傅里叶级数的逐项微分法476

733．三角函数系的完全性477

734．函数的一致近似法·魏尔斯特拉斯定理479

735．函数的平均近似法·傅里叶级数的部分和的极值性质481

736．三角函数系的封闭性·李雅普诺夫定理484

737．广义封闭性方程487

738．傅里叶级数的乘法489

739．封闭性方程的若干应用490

2．广义求和法在傅里叶级数上应用495

740．基本引理495

741．傅里叶级数的泊松-阿贝尔求和法497

742．关于圆的狄利克雷问题的解500

743．傅里叶级数的切萨罗-费耶求和法502

744．傅里叶级数广义求和法的若干应用504

745．傅里叶级数的逐项微分法506

3．函数的三角展开式的唯一性507

746．关于广义导数的辅助命题507

747．三角级数的黎曼求和法510

748．关于收敛级数的系数的引理514

749．三角展开式的唯一性515

750．关于傅里叶级数的最后的定理516

751．推广519

附录 极限的一般观点522

752．在分析中所遇到的极限的各种类型522

753．有序集合（狭义的）523

754．有序集合（广义的）524

755．有序变量及其极限526

756．例题527

757．关于函数极限的附注529

758．极限理论的推广530

759．同序变量532

760．借助于参数的排列法533

761．化简成整序变量534

762．有序变量的上极限与下极限536

索引539

校订后记545