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第一部分 预处理和并行预处理5

第1章 一般矩阵预处理子5

1.1 预处理的目的与方式5

1.2 Jacobi、 SOR及SSOR预处理子8

1.3 块预处理子10

1.3.1 块三对角矩阵10

1.3.2 块Jacobi预处理子12

1.4 不完全LU分解预处理子14

1.4.1 不完全LU分解14

1.4.2 ILU（0）预处理子：零填充ILU19

1.4.3 MIL U预处理子：修正的ILU20

1.5 不完全LU分解预处理子的变形21

1.5.1 ILUT预处理子21

1.5.2 ILU TP预处理子24

1.5.3 ILUS预处理子25

1.6 不完全正交分解预处理子27

1.6.1 不完全修改的Gram-Schmidt方法28

1.6.2 不完全吉文斯正交化方法30

1.6.3 阈值不完全吉文斯正交化方法38

1.7 稀疏近似逆预处理子41

1.7.1 基于范数极小化的近似逆预处理子42

1.7.2 分裂的稀疏近似逆预处理子47

1.7.3 基于双正交化的近似逆预处理子50

1.7.4 并行多步逐次稀疏近似逆预处理子55

1.7.5 三角矩阵之稀疏近似逆59

1.8 多项式预处理子64

1.8.1 Neumann多项式64

1.8.2 Chebyshev多项式65

1.8.3 最小二乘多项式68

1.8.4 非对称情形70

1.9 基于缩减的预处理子72

1.9.1 预处理与缩减72

1.9.2 子区域缩减75

1.9.3 选择子区域的准则78

1.9.4 非对称情形与并行实现82

1.10 非对称线性方程组序列的有效预处理86

1.10.1 理想的校正预处理子87

1.10.2 近似预处理子校正91

第2章 多层方法与预处理子96

2.1 多重网格方法96

2.1.1 简单预处理子的光滑性质96

2.1.2 粗网格校正和两层网格迭代100

2.1.3 多重网格循环103

2.1.4 复杂度分析和并行实现105

2.1.5 求解非线性方程组的多重网格方法106

2.1.6 评注和文献108

2.2 代数多重网格方法109

2.2.1 算法基本组件110

2.2.2 代数光滑误差110

2.2.3 网格粗化和插值算子112

2.2.4 复杂度分析116

2.2.5 并行实现117

2.2.6 评注和文献117

2.3 基于Schur补分解的多层预处理子118

2.3.1 代数多层迭代（AMLI）预处理子119

2.3.2 多层消元不完全LU分解（ILUM）预处理子120

2.3.3 与代数多重网格的比较122

2.3.4 评注和文献124

2.4 区域分解方法124

2.4.1 重叠型区域分解：Schwarz交替迭代方法125

2.4.2 非重叠型区域分解128

2.4.3 区域分解视角下的多层预处理子129

2.4.4 评注和文献132

2.5 限制型加性Schwarz预处理子（RAS）132

2.5.1 RAS的一般形式132

2.5.2 基于RAS的Schur补预处理子（SchurRAS）133

2.5.3 评注和文献140

第3章 问题相关的预处理技术142

3.1 基于算子分裂的预处理142

3.1.1 非平衡辐射扩散问题144

3.1.2 刚性双曲型方程组150

3.2 基于半隐式离散的预处理156

3.2.1 大气流动问题156

3.2.2 飓风模拟162

3.2.3 流体计算172

3.3 基于低阶离散的预处理175

3.4 基于连续算子的预处理181

3.4.1 等价算子和线性收敛性182

3.4.2 对称椭圆方程的谱等价预处理子193

3.4.3 无限维空间中的Krylov子空间方法与预处理198

3.4.4 评注和文献207

第4章 非线性预处理208

4.1 非线性预处理简介208

4.2 ASPIN方法208

4.2.1 ASPIN方法209

4.2.2 ASPIN方法的局部收敛性和收敛速度212

4.3 求解一类非线性偏微分方程的非线性预处理Newton法214

4.3.1 非线性预处理偏微分方程214

4.3.2 非线性预处理Newton法的收敛速度估计216

4.4 并行两层非线性Schwarz预处理非精确Newton算法219

4.4.1 一个模型问题219

4.4.2 子区域划分与一层非线性预处理子220

4.4.3 非线性预处理子的线性粗分量222

4.5 非定常流Newton-Krylov方法中的非线性预处理子225

4.5.1 控制方程226

4.5.2 数值方法226

4.5.3 预处理方案的分析228

4.6 非线性方程组的自适应预处理子230

4.6.1 问题描述230

4.6.2 自适应预处理231

4.7 使用部分矩阵估计的无矩阵预处理235

4.7.1 使用图着色的矩阵估计236

4.7.2 部分估计与图着色问题237

第二部分 应用与软件包介绍245

第5章 应用245

5.1 在辐射流体力学中的应用245

5.1.1 非线性方程组的形成245

5.1.2 代数解法器249

5.1.3 数值算例252

5.1.4 小结256

5.2 输运问题的迭代算法介绍256

5.2.1 粒子输运方程简介256

5.2.2 中子输运方程的源迭代解法261

5.2.3 辐射输运方程的分裂源迭代解法262

5.2.4 输运方程的迭代加速方法264

5.3 在核反应堆模拟中的应用268

5.3.1 JFNK-DG框架269

5.3.2 基于物理的预处理270

5.3.3 数值试验结果272

5.4 在磁流体动力学中的应用277

5.4.1 二维约化的MHD模型278

5.4.2 JFNK解法器279

5.4.3 基于物理预处理子281

5.4.4 数值试验285

5.5 在定常可压缩无黏流中的应用291

5.5.1 时间显式和时间隐式流解法器292

5.5.2 一种无矩阵Newton-Krylov方法：平方预处理294

5.5.3 Newton-Krylov方法的非线性预处理297

5.5.4 实现和数值结果298

5.6 在图像处理中的应用311

5.6.1 变分形式311

5.6.2 小波基中的自适应预处理313

5.6.3 应用于早期视觉问题318

5.6.4 数值试验结果320

5.7 在积分方程和电磁学问题中的应用331

5.7.1 SAI的简要回顾333

5.7.2 并行实现细节334

5.7.3 数值结果340

第6章 预处理子软件包介绍347

6.1 Hypre：高性能预处理子347

6.2 BPKIT：块预处理工具箱349

6.3 ILUPACK：不完全分解程序库351

6.4 SPAI：稀疏近似逆和MSPAI：修改的稀疏近似逆355

6.5 pARMS：并行代数递归多层解法器358

6.6 MLD2P4：基于PSBLAS的多层区域分解并行预处理子359

6.7 Trilinos：一串珍珠360

参考文献368