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第1章 “万物皆数”观点的破灭与再生——第一次数学危机与实数理论1

1.1毕达哥拉斯学派的信条——万物皆数2

1.2第一个无理数2

1.3无理数之谜4

1.4连续性的奥秘5

1.5戴德金分割6

1.6连续归纳原理8

1.7“万物皆数”的再生9

1.8勾股定理的多种证明10

1.9无理数与第一次数学危机11

1.10中国古代文化中的“万物皆数”13

1.11一分为二和一分为三16

第2章 哪种几何才是真的——非欧几何与现代数学的“公理”19

2.1欧几里得的公理方法20

2.2欧几里得的几何定理是真理吗21

2.3非欧几何的发现22

2.4哪一个是真的24

2.5公理是什么25

2.6古今由圆外一点向圆作切线的不同27

2.7定义的多样性和局限性28

第3章 变量·无穷小·量的鬼魂——第二次数学危机与极限概念32

3.1数学怎么描述运动与变化33

3.2瞬时速度35

3.3微分是量的鬼魂吗37

3.4无穷小量的再生39

3.5不用极限的微积分41

第4章 自然数有多少——数学中的“实在无穷”概念50

4.1伽利略的困惑51

4.2康托，闯入无穷王国的先锋52

4.3希尔伯特的“无穷旅店”55

4.4所有的无穷都一样吗56

4.5自然数究竟有多少60

4.6有理数的自白62

4.7素数无穷的不同表述63

4.8数学的严格64

第5章 罗素悖论引起的轩然大波——第三次数学危机67

5.1逻辑—集合—数68

5.2罗素悖论69

5.3集合的层次理论70

5.4集合论的公理化71

5.5连续统假设72

5.6地平线仍在前方73

5.7悖论与危机75

第6章 数是什么——对数学对象本质的几种看法79

6.1 1是什么80

6.2柏拉图主义——数存在于理念世界82

6.3唯名论观点——数是纸上的符号或头脑中特定的概念84

6.4康德：数是思维创造的抽象实体85

6.5约定论的观点——数学规则不过是人的约定86

6.6逻辑主义——算术是逻辑的一部分87

6.7直觉主义——数学概念是自主的智力活动88

6.8形式主义——把数学化为关于有限符号排列的操作90

6.9争论与统一92

6.10存在与构造93

6.11 0.9＝1吗96

第7章 是真的，但又不能证明——哥德尔定理98

7.1哥德尔定理100

7.2说谎者悖论与理查德悖论101

7.3算术有多少种102

7.4数学的力量与局限104

7.5数学的局限与加密105

7.6数学的局限与博弈106

第8章 数学与结构——布尔巴基学派的观点109

8.1在逻辑长链的背后111

8.2形形色色的加法113

8.3基本的结构116

8.4分析与综合的艺术119

8.5布尔巴基学派和新数运动123

第9章 命运决定还是意志自由——必然性与偶然性的数学思考125

9.1两种对立的哲学观点126

9.2从偶然产生必然131

9.3从必然产生偶然133

9.4一场风暴或一口痰能影响民族的命运吗134

9.5什么叫必然？什么叫偶然136

9.6抽屉原理139

9.7五百年必有王者兴140

第10章 举例子能证明几何定理吗——演绎与归纳的对立与统一143

10.1例证法——用演绎支持归纳144

10.2几何定理也能用例子证明145

10.3进一步的思考148

10.4验证三角形内角和定理151

10.5精确数学和近似数学152

10.6例证法与动态几何154

第11章 计算机正在改变数学155

11.1四色定理的机器证明156

11.2计算机证明的定理可靠吗157

11.3数学和计算机共同发展159

11.4《九章算术》的算法思想160

11.5几何信息搜索系统简介161

11.6机器证明软件简介166

第12章 数学与哲学随想174

12.1数学的领域在扩大，哲学的地盘在缩小174

12.2数学始终在影响着哲学175

12.3抽象与具体177

12.4涉及具体问题时，语言必须精确严格178

12.5个别与一般181

12.6事物与概念183

12.7“我不需要这个假设”184

12.8证实与证伪185

12.9数学世界是人的创造，但它是客观的186

12.10事物的总体性187

12.11变化中的不变188

12.12预言190

12.13“没有两件事物完全一样”191

12.14物极必反194

12.15论怀疑195

12.16量变与质变198

12.17罗素与“事素”199