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第一部分 刚性常微分方程数值分析3

第一章 引论3

1.1 常微分方程3

1.1.1 常微分方程组初值问题3

1.1.2 解的存在性、唯一性和稳定性6

1.1.3 线性常微分方程组及矩阵预解式11

1.1.4 常系数线性系统及渐近稳定性13

1.1.5 线性差分方程16

1.2 刚性微分方程22

1.2.1 刚性微分方程的实际背景22

1.2.2 线性刚性问题的数学定义22

1.2.3 非线性刚性问题的数学定义25

1.2.4 刚性问题举例27

第二章 数值方法经典理论32

2.1 一般多步方法32

2.2 相容性和零稳定性34

2.2.1 相容性和相容条件34

2.2.2 零稳定性与根条件37

2.3 收敛性41

2.3.1 收敛准则及整体误差估计41

2.3.2 收敛性与相容性的关系44

2.4 线性稳定性47

2.4.1 线性方法47

2.4.2 方法的稳定多项式和稳定域50

2.4.3 线性稳定性的适用范围53

2.4.4 各种常用稳定性定义59

2.5 稳定程度60

2.5.1 方法的稳定程度和（δ，p）-稳定域61

2.5.2 差分方程解的若干表示63

2.5.3 稳定程度与稳定域的关系67

2.5.4 （δ，p）-稳定域的稳定程度69

2.5.5 用（δ，p）-稳定域逼近方法的稳定域70

2.5.6 稳定程度大于零的条件72

2.5.7 稳定程度趋于零的含参多步方法74

2.6 一般多值方法80

2.6.1 一般多值方法及其不同表示80

2.6.2 一般线性方法82

2.6.3 一些基本概念85

2.6.4 零稳定的各种等价条件86

2.6.5 一般多值方法的收敛准则89

2.6.6 预相容及相容条件90

2.6.7 拟相容性及其与收敛性的关系93

2.6.8 一般线性方法的线性稳定性98

2.7 整体误差的渐近展式99

2.7.1 单步方法整体误差渐近展式99

2.7.2 伴随方法及对称方法102

2.7.3 仅含有偶次幂的整体误差渐近展式107

2.7.4 一般多值方法整体误差渐近展式108

2.7.5 一般多步方法整体误差渐近展式115

2.8 泛函微分方程的（A,B,D）-方法120

2.8.1 （A,B,D）-方法120

2.8.2 相容性和零稳定性127

2.8.3 收敛准则134

2.8.4 应用举例138

第三章 线性稳定性分析142

3.1 线性多步法及有关方法142

3.1.1 线性多步法稳定性分析142

3.1.2 向后微分公式159

3.1.3 向后微分公式的改进162

3.1.4 广义向后微分公式164

3.1.5 Enright方法166

3.2 Runge-Kutta法168

3.2.1 Runge-Kutta法概述168

3.2.2 Runge-Kutta法的阶条件172

3.2.3 Runge-Kutta法稳定性分析187

3.2.4 基于高阶数值积分公式的隐式Runge-Kutta法201

3.2.5 单隐Runge-Kutta法及Butcher变换214

3.3 刚性微分方程的收缩方法226

3.3.1 一般多步方法的收缩性227

3.3.2 A-收缩和A（α）-收缩的二阶导数方法233

3.3.3 A-收缩和A（α）-收缩的混合方法238

3.4 并行算法245

3.4.1 并行多步Runge-Kutta预校算法245

3.4.2 并行Adams预校算法255

3.4.3 刚性问题的并行多步混合方法259

第四章 非线性稳定性分析265

4.1 Hilbert空间中的试验问题265

4.1.1 问题类Kσ，T266

4.1.2 试验问题的基本性质267

4.2 单支方法和线性多步法的稳定准则270

4.2.1 G-稳定性及G（c,p,q）-代数稳定性270

4.2.2 G（c,p,q）-代数稳定准则271

4.2.3 单支方法与线性多步法的关系272

4.2.4 线性多步法的稳定准则及与单支方法比较274

4.2.5 稳定准则的应用276

4.3 Runge-Kutta法的稳定准则280

4.3.1 代数稳定性及（θ，p，q）-代数稳定性280

4.3.2 （θ，p，q）-代数稳定准则282

4.3.3 积分型Runge-Kutta法的代数稳定性286

4.4 一般线性方法的非线性稳定性288

4.4.1 （k,p,q）-稳定性291

4.4.2 （k,p,q）-弱代数稳定准则297

4.4.3 弱代数稳定准则的应用304

4.5 多步Runge-Kutta法的代数稳定性311

4.5.1 多步Runge-Kutta法311

4.5.2 代数稳定的必要充分条件313

4.5.3 简化条件的若干性质315

4.5.4 简化条件与代数稳定性317

4.5.5 高阶代数稳定的多步Runge-Kutta法及其分类321

4.5.6 Ⅰ至Ⅵ类代数稳定方法的构造324

4.6 Banach空间中的试验问题330

4.6.1 问题类K（μ，λ＊）及K（μ，λ＊，δ）330

4.6.2 试验问题的基本性质331

4.6.3 试验问题类的子类K1、K2λ＊和K3μ333

4.6.4 Hilbert空间情形下试验问题的性质334

4.6.5 试验微分方程条件估计337

4.7 对数矩阵范数339

4.7.1 对数矩阵范数及其基本性质339

4.7.2 最小单边Lipschitz常数341

4.7.3 基于对数矩阵范数的微分方程条件估计342

4.8 一类多步方法的非线性稳定性344

4.8.1 系数依赖于步长的多步方法344

4.8.2 方法关于K（μ，λ＊）类问题的稳定性345

4.8.3 方法关于K（μ，λ＊，δ）类问题的稳定性347

4.8.4 若干推论349

4.9 显式及对角隐式Runge-Kutta法的非线性稳定性352

4.9.1 Bl-稳定性及其准则353

4.9.2 主要结果的证明357

4.9.3 Bl-稳定方法举例360

4.10 多步多导数方法的非线性稳定性366

4.10.1 问题类K？及其性质366

4.10.2 多步多导数法的稳定性准则372

4.10.3 应用举例375

第五章 B-收敛理论378

5.1 一般线性方法的B-理论基础378

5.1.1 B-收敛概念379

5.1.2 B-相容性和B-稳定性382

5.1.3 BS-稳定性和BSI-稳定性386

5.1.4 级阶和广义级阶387

5.1.5 B-相容和BH-相容的条件387

5.1.6 B-稳定和弱B-稳定的条件390

5.1.7 B-收敛准则392

5.1.8 B-稳定的其他代数条件398

5.2 单支方法和线性多步法的B-收敛性404

5.2.1 A-稳定等价于B-稳定404

5.2.2 A-稳定单支方法的最佳B-收敛阶407

5.2.3 A-稳定线性多步法的最佳B-收敛阶409

5.2.4 线性多步法起始值计算的技巧415

5.3 数值方法的可行性417

5.3.1 一类算子方程解的存在及唯一性417

5.3.2 多级多值多导数方法的可行性423

5.3.3 多步多导数方法的可行性428

5.3.4 一般线性方法的可行性429

5.4 B-收敛的多步Runge-Kutta法432

5.4.1 多步Runge-Kutta法的级阶和广义级阶432

5.4.2 多步Runge-Kutta法的对角稳定性436

5.4.3 多步Runge-Kutta法的B-收敛阶438

5.4.4 Ⅰ至Ⅵ类代数稳定多步Runge-Kutta法的B-收敛性439

5.4.5 B-收敛多步Runge-Kutta法举例440

5.5 B-理论的进一步推广447

5.5.1 正规问题类和示性矢量448

5.5.2 B-收敛概念一般化457

5.5.3 B-相容性和B-稳定性的推广459

5.5.4 B-收敛准则的推广462

5.5.5 线性刚性问题数值解的B-收敛阶466

5.5.6 高阶B-收敛的多步多导数法470

参考文献480

第二部分 刚性泛函微分方程数值分析497

第六章 刚性泛函微分方程稳定性理论及其数值方法的B-理论6.1 刚性Volterra泛函微分方程稳定性理论497

6.1.1 引言497

6.1.2 稳定性与广义收缩性500

6.1.3 严格收缩性与渐近稳定性508

6.2 VFDE-Runge-Kutta法的B-理论512

6.2.1 引言512

6.2.2 VFDE-RK方法的B-稳定性517

6.2.3 VFDE-RK方法的B-相容性与B-收敛性526

6.2.4 VFDE-RK方法的收缩性与渐近稳定性531

6.2.5 用于非线性刚性延迟微分方程540

6.2.6 用于非线性刚性延迟积分微分方程544

6.3 VFDE一般线性方法的B-理论549

6.3.1 引言549

6.3.2 VFDE-GL方法的B-稳定性551

6.3.3 VFDE-GL方法的B-相容性与B-收敛性559

6.4 数值试验566

参考文献576