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第一章 工程优化的数学基础和基本理论1

1.1 凸集1

一、集合1

二、凸集的定义及其基本性质3

三、凸集的分离定理7

四、锥及其简单性质11

五、多面角锥及其性质13

1.2 凸函数16

一、凸函数分类及其简单性质16

二、向量函数的基本概念21

三、次梯度及其性质25

四、凸函数的微分性质28

五、凹函数34

1.3 凸规划35

一、基本性质与定理36

二、对偶问题40

三、线性规划与二次规划及其对偶43

1.4 可微极小化问题的最优性条件47

一、基本概念和术语47

二、局部最小点的必要条件49

三、鞍点及其所满足的条件54

1.5 不可微极小化问题的最优性条件60

一、预备知识60

二、无约束极小化问题的充分条件61

三、约束极小化问题的必要条件62

四、约束极小化问题的充分条件算法的宏观剖析（算法序）71

第二章 最佳步长的确定法（一维最优化）74

2.1 采用非线性方程求根的方法74

一、Newton法（切线法）74

二、弦位法（割线法）76

三、Newton法与弦位法的收敛性78

2.2 曲线拟合法82

一、逼近法82

二、插值法86

三、逐步二次插值逼近法87

2.3 试探法（不精确方法）91

第三章 下降方向算法类94

3.1 算法类的收敛性与收敛速度的估计94

一、算法类的实现步骤103

3.2 算法类的实现步骤和特殊算法举例103

二、特殊算法举例104

3.3 近似Newton法109

一、算法的构思109

二、由A？产生A？的递推方法111

三、算法的计算公式116

四、｛rh｝的构造方法117

五、算法的实现步骤118

六、算法的可靠性分析121

七、小结130

3.4 不需要计算导数值的近似Newton法131

一、迭代公式的构造法131

二、算法的计算公式与实现步骤135

三、算法的可靠性分析137

3.5 一类特殊函数的极小化方法147

一、Gauss-Newton法与Marquardt方法148

二、Powell方法151

4.1 共轭方向的定义及其简单性质154

一、共轭方向的定义154

第四章 共轭方向算法类154

二、共轭向量的性质155

4.2 严格凸二次函数的极小化方法157

一、迭代步长ah的求法158

二、算法的有限步收敛性158

三、共轭方向的各种构造法及各种算法的形成161

四、共轭方向算法类的计算公式与实现步骤170

五、算法类的共性分析171

六、特殊算法剖析175

七、共轭方向的递推公式及DFP与共轭梯度法的进一步讨论180

4.3 凸二次函数的极小化185

一、凸二次函数的性质185

二、极小化凸二次函数的共轭梯度法187

三、共轭方向算法类用于极小化凸二次函数将会出现的情况189

4.4 共轭方向算法类用于极小化凸函数的情况191

一、推广使用的可能性191

二、极小化凸函数的计算公式与实现步骤193

三、算法的收敛性理论194

四、极小化非凸函数的情况208

4.5 共轭方向的统一构造法208

一、预备知识（广义逆的基本概念）209

二、共轭方向的构造法210

三、构造共轭方向的递推公式213

四、共轭方向各种构造法之间的联系216

4.6 不需要计算导数的共轭方向法217

一、严格凸二次函数的极小化算法217

二、凸函数的极小化算法219

三、算法的收敛性讨论222

4.7 极小化一阶连续可微函数的一种有效的新算法226

一、算法的计算公式与步骤227

二、一维搜索方法228

三、搜索方向的共轭特性230

第五章 约束优化方法235

5.1 转化成无约束优化问题的各种方法235

一、Lagrange乘子法235

二、罚函数法249

三、罚函数法的收敛性255

5.2 凸约束区域上的极小化方法262

一、条件梯度法的迭代方向与步长的确定法263

二、条件梯度法的计算公式与实现步骤264

三、条件梯度法的收敛性与收敛速度估计265

四、条件Newton法274

5.3 可行方向法278

一、可行方向的定义278

二、可行方向的求法280

三、可行方向法的实现步骤285

四、初始逼近点x0的确定法287

5.4 区域收缩法287

一、算法的应用范围288

二、收缩区域的构造法288

三、算法的计算公式与步骤290

四、算法的收敛性291

五、椭球方法简介293

5.5 线性化方法简介295

一、算法的构思295

二、实现算法的困难、建议以及算法的推广297

三、算法的计算公式与实现步骤298

5.6 线性约束下的一些有效算法300

一、梯度投影法300

二、简约梯度法308

三、简约梯度法的新改进313

四、广义简约梯度法（GRG方法）319

5.7 非线性约束极小化的Solver方法与变尺度法324

一、等式约束下的Solver方法324

二、变尺度法（递归二次规划法）329

第六章 线性、二次、多目标规划和工程优化应用实例334

6.1 线性规划解法334

一、线性规划的基本概念335

二、单纯形法的形成335

三、基础可行解的产生方法340

四、单纯形法的计算公式与实现步骤344

五、Karmarkar算法346

6.2 二次规划问题354

一、预备知识（投影算子及其性质）355

二、凸二次函数在线性等式约束下的极小化358

三、二次规划的共轭梯度法360

四、一般二次规划的算法364

五、投影算子的计算法367

六、小结373

6.3 多目标规划法374

一、向量函数的比较（半序）375

二、多目标规划最优解的各种定义376

三、多目标规划各种解集的关系378

四、多目标规划的求解策略380

五、评价函数的收敛性389

6.4 一类泛函极值的数值方法及其应用393

一、实际背景与数学模型的建立394

二、解析解的导出395

三、计算解之系数的递推公式399

四、系数解析表达式的导出402

五、Lagrange乘子的确定法405

六、计算公式与实现步骤408

6.5 内燃机配气机构的优化设计410

一、凸轮和气门运动规律所满足的数学模型410

二、凸轮型线所满足的优化模型411

三、优化模型的求解413

四、配气机构的计算机模拟416

五、凸轮型线设计的多目标规划法416

结束语421

参考文献423