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第1章 函数Function1

1.1 函数1

1.1.1 集合1

1.1.2 函数的概念3

1.1.3 具有某种特征的函数6

习题1-18

1.2 初等函数9

1.2.1 复合函数9

1.2.2 反函数11

1.2.3 基本初等函数13

1.2.4 初等函数16

习题1-216

复习题一19

第2章 函数的极限Limit of Function21

2.1 数列的极限21

2.1.1 数列极限的定义21

2.1.2 单调有界原理24

2.1.3 数列极限的性质26

习题2-128

2.2 函数的极限29

2.2.1 当x→∞时，函数f（x）的极限29

2.2.2 当x→x0时，函数f（x）的极限31

2.2.3 左极限和右极限34

习题2-235

2.3 函数极限的性质和运算36

2.3.1 函数极限的性质36

2.3.2 函数极限的四则运算37

2.3.3 复合函数的极限40

习题2-341

2.4 两个重要极限41

习题2-446

2.5 无穷小与无穷大46

2.5.1 无穷小46

2.5.2 无穷大47

2.5.3 无穷小与无穷大的关系48

2.5.4 无穷小的比较49

习题2-550

2.6 连续函数51

2.6.1 连续函数的概念51

2.6.2 函数的间断点53

2.6.3 初等函数的连续性55

2.6.4 闭区间上连续函数的性质57

习题2-659

复习题二60

第3章 导数与微分Derivative and Differential63

3.1 导数的概念63

3.1.1 导数的引入63

3.1.2 导数的概念64

3.1.3 导数的几何意义70

3.1.4 可导与连续的关系71

习题3-173

3.2 求导法则与导数公式74

3.2.1 函数和、差、积、商的求导法则74

3.2.2 反函数的求导法则78

3.2.3 复合函数的求导法则79

3.2.4 初等函数的导数81

习题3-282

3.3 隐函数与由参数方程所确定的函数的导数82

3.3.1 隐函数的求导方法82

3.3.2 由参数方程所确定的函数的求导公式85

习题3-386

3.4 高阶导数86

习题3-490

3.5 微分91

3.5.1 微分的概念91

3.5.2 微分的几何意义93

3.5.3 微分的运算法则和公式94

3.5.4 微分在近似计算中的应用96

习题3-597

复习题三98

第4章 微分中值定理Mean Value Theorem for Differential101

4.1 微分中值定理101

4.1.1 罗尔定理101

4.1.2 拉格朗日中值定理103

习题4-1108

4.2 洛必达法则109

4.2.1 0/0型未定式109

4.2.2 ∞/∞型未定式112

4.2.3 其他未定式114

习题4-2116

4.3 泰勒公式117

4.3.1 泰勒中值定理117

4.3.2 函数的泰勒展开式举例121

习题4-3123

4.4 函数的单调性与极值124

4.4.1 函数的单调性124

4.4.2 函数的极值127

习题4-4130

4.5 函数的凸性、曲线的拐点及渐近线130

4.5.1 函数的凸性、曲线的拐点130

4.5.2 曲线的渐近线134

4.5.3 函数图形的描绘136

习题4-5138

复习题四140

第5章 不定积分Indefinite Integral143

5.1 不定积分的概念与性质143

5.1.1 原函数的概念143

5.1.2 不定积分的概念144

5.1.3 不定积分的几何意义145

5.1.4 基本积分表145

5.1.5 不定积分的性质146

习题5-1148

5.2 换元积分法149

5.2.1 第一类换元积分法（凑微分法）149

5.2.2 第二类换元积分法155

习题5-2159

5.3 分部积分法160

习题5-3164

5.4 有理函数的积分165

5.4.1 有理函数的积分165

5.4.2 可化为有理函数的积分168

习题5-4170

复习题五170

第6章 定积分及其应用Definite Integral and Its Applications173

6.1 定积分的概念173

6.1.1 引例173

6.1.2 定积分的概念175

6.1.3 可积的条件176

6.1.4 定积分的几何意义177

习题6-1178

6.2 定积分的性质179

习题6-2183

6.3 微积分基本公式184

6.3.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系184

6.3.2 积分上限函数及其导数185

6.3.3 牛顿-莱布尼兹公式188

习题6-3190

6.4 换元积分法和分部积分法191

6.4.1 换元积分法191

6.4.2 分部积分法195

习题6-4197

6.5 反常积分198

6.5.1 无穷区间上的反常积分198

6.5.2 无界函数的反常积分201

习题6-5203

6.6 定积分在几何上的应用203

6.6.1 定积分的微元法204

6.6.2 平面图形的面积205

6.6.3 旋转体的体积209

6.6.4 平行截面面积已知的立体体积211

习题6-6212

6.7 定积分在物理学上的应用213

6.7.1 变力沿直线所作的功213

6.7.2 水压力214

6.7.3 引力215

习题6-7216

复习题六218

第7章 微分方程Differential Equation221

7.1 微分方程的基本概念221

习题7-1225

7.2 一阶微分方程225

7.2.1 可分离变量的微分方程225

7.2.2 齐次方程228

7.2.3 一阶线性微分方程230

习题7-2234

7.3 可降阶的高阶微分方程235

7.3.1 y(n)=f（x）型微分方程235

7.3.2 不显含未知函数y的微分方程y″=f（x,y′）236

7.3.3 不显含自变量x的微分方程y″=f（y,y′）236

习题7-3237

7.4 二阶常系数线性微分方程238

7.4.1 二阶常系数线性微分方程解的结构238

7.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程239

7.4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程243

习题7-4249

复习题七249

参考文献251