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第一章 矩阵的初等理论1

1.1 矩阵及其初等运算1

1.矩阵和向量1

习题1.14

2.矩阵的分块乘法与初等变换6

习题1.214

1.2 矩阵的行列式和矩阵的秩16

1.行列式及其性质16

习题1.321

2.矩阵的秩及其性质25

习题1.429

1.3 矩阵的迹和矩阵的特征值31

1.矩阵的迹及其初等性质31

2.矩阵的特征值及其计算32

习题1.539

第二章 线性代数基础45

2.1 线性空间45

1.线性空间的定义及例子45

习题2.150

2.子空间的概念52

习题2.258

3.基底和维数61

习题2.375

4.和空间与直和空间概念的推广78

2.2 内积空间79

1.内积空间的定义及例子80

习题2.483

2.由内积诱导出的几何概念87

3.标准正交基底与 Gram—Schmidt 过程89

习题2.598

2.3 线性变换102

1.映射和线性变换102

习题2.6105

2.线性变换的运算107

习题2.7109

3.与线性变换有关的子空间110

习题2.8113

2.4 线性变换的矩阵表示和空间的同构115

1.线性变换的矩阵表示116

2.线性空间的同构121

习题2.9126

2.5 线性变换的最简矩阵表示130

1.线性变换的特征值与特征向量130

习题2.10143

2.线性变换的零化多项式及最小多项式146

习题2.11153

3.不可对角化线性变换的最简矩阵表示156

习题2.12169

第三章 矩阵的几种重要分解175

3.1 矩阵的 UR 分解及其推论175

1.满秩方阵的 UR 分解175

2.长方矩阵的分解176

3.几个具体例子180

4.关于矩阵的满秩分解的几个推论185

3.2 舒尔引理与正规矩阵的分解187

1.舒尔引理187

2.矩阵的奇异值分解和极分解192

习题3.1195

3.3 幂等矩阵、投影算子及矩阵的谱分解式199

1.投影算子、幂等算子和幂等矩阵199

2.可对角化矩阵的谱分解206

习题3.2215

第四章 矩阵的广义逆218

4.1 Moore-Penrose 广义逆矩阵218

4.2 广义逆矩阵 A(1)219

1.广义逆 A(1)的定义和构造219

2.广义逆 A(1)的性质230

3.广义逆 A(1)应用于解线性方程组233

习题4.1234

4.3 广义逆矩阵 A(1，2)238

1.广义逆 A(1，2)的定义及存在性238

2.广义逆 A(1，2)的性质239

3.广义逆 A(1，2)的构造243

习题4.2245

1.广义逆 A(1，3)的定义和构造246

4.4 广义逆矩阵 A(1，3)246

2.广义逆 A(1，3)应用于解方程组248

习题4.3250

4.5 广义逆矩阵 A(1,4)252

1.广义逆 A(1,4)的定义和构造252

2.广义逆 A(1,4)应用于解方程组254

习题4.4256

4.6 M-P 广义逆矩阵258

1.M-P 广义逆的存在及性质258

2.M-P 广义逆的几种显式表示263

3.M-P 广义逆用于解线性方程组266

习题4.5268

4.7 几种计算 A+的直接方法270

1.Lagrange-Sylvester 公式271

2.Neumann 展式271

1.向量范数274

第五章 矩阵分析274

5.1 向量范数及矩阵范数274

2.矩阵范数281

习题5.1288

5.2 矩阵序列与矩阵级数291

1.向量序列的极限291

2.矩阵序列的极限292

3.矩阵级数295

习题5.2298

5.3 矩阵的微分与积分299

1.函数矩阵及其极限299

2.函数矩阵的微分和积分301

3.纯量函数关于矩阵的导数304

4.矩阵对矩阵的导数309

习题5.3313

1.矩阵多项式314

5.4 矩阵函数314

2.矩阵函数319

3.常用矩阵函数的性质339

习题5.4342

5.5 矩阵分析在微分方程中的应用346

习题5.5348

第六章 矩阵的 Kronecker 积350

6.1 矩阵的 Kronecker 积的定义和性质350

1.Kronecker 积的定义350

2.Kronecker 积的性质350

6.2 Kronecker 积的应用354

1.矩阵的拉直及其与直积的关系354

2.直积的应用355

习题6.1362