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第六章 常微分方程1

6.1微分方程的基本概念1

一、引例1

二、基本概念2

6.2可分离变量的微分方程4

6.3齐次方程6

一、齐次方程6

二、可化为齐次方程的微分方程7

6.4一阶线性微分方程10

一、线性方程10

二、伯努利方程12

6.5可降阶的高阶微分方程13

一、y(n)=f（x）型的微分方程14

二、y＂=f（x，y＇）型的微分方程14

三、y＂=f（y，y＇）型的微分方程15

6.6线性微分方程解的性质与解的结构17

6.7常系数齐次线性微分方程19

6.8常系数非齐次线性微分方程23

一、f（x）=fn（x），其中fn（x）是x的一个n次多项式23

二、f（x）=fn（x）eλx，其中fn（x）是一个n次多项式，λ为常数24

三、f（x）=acosωx+bsinωx，其中α，b，ω是常数25

第七章向量代数与空间解析几何29

7.1向量及其运算29

一、向量的概念29

二、向量的线性运算30

三、空间直角坐标系32

四、向量坐标运算34

五、向量的模、方向角及投影35

7.2数量积、向量积、混合积37

一、数量积37

二、向量积39

三、混合积40

7.3平面与空间直线42

一、平面及其方程42

二、空间直线及其方程46

7.4曲面及其方程52

一、曲面方程的概念52

二、柱面53

三、旋转曲面54

7.5空间曲线及其方程59

一、空间曲线的方程59

二、空间曲线在坐标面上的投影60

第八章 多元函数微分学66

8.1多元函数的极限与连续66

一、平面点集与n维空间66

二、多元函数的概念68

三、多元函数的极限69

四、多元函数的连续性70

8.2偏导数72

一、偏导数的定义及其计算72

二、高阶偏导数75

8.3全微分76

一、全微分的概念76

二、全微分在近似计算中的应用79

8.4多元复合函数的微分法80

一、链式求导法则80

二、多元复合函数的全微分84

8.5隐函数的求导公式85

一、一个方程的情形85

二、方程组的情形87

8.6偏导数的几何应用90

一、空间曲线的切线与法平面90

二、空间曲面的法线与切平面92

8.7方向导数与梯度95

一、方向导数95

二、梯度97

三、数量场与向量场99

8.8多元函数的极值100

一、元函数的极值100

二、多元函数的最值102

三、条件极值103

8.9二元函数的泰勒公式105

8.10最小二乘法107

第九章 重积分111

9.1二重积分的概念与性质111

一、二重积分的概念111

二、二重积分的性质113

9.2二重积分的计算116

一、二重积分在直角坐标系下的计算116

二、二重积分在极坐标系下的计算121

三、二重积分的换元法125

9.3三重积分128

一、三重积分的概念128

二、三重积分的计算129

9.4重积分的应用136

一、曲面的面积136

二、质心138

三、转动惯量139

四、引力141

第十章 曲线积分与曲面积分145

10.1曲线积分145

一、对弧长的曲线积分145

二、对坐标的曲线积分149

三、两类曲线积分之间的关系155

10.2格林公式及其应用157

一、格林格式157

二、平面上曲线积分与路径无关的条件160

三、二元函数的全微分求积163

10.3曲面积分167

一、对面积的曲面积分167

二、对坐标的曲面积分171

三、两类曲面积分之间的关系175

10.4高斯公式 通量与散度177

一、高斯公式177

二、通量与散度179

10.5斯托克斯公式 环流量与旋度181

一、斯托克斯公式181

二、环流量与旋度184

第十一章 无穷级数188

11.1常数项级数的概念与性质188

一、常数项级数的概念188

二、常数项级数的性质190

11.2常数项级数的审敛法193

一、正项级数及其审敛法193

二、交错级数及其审敛法198

三、绝对收敛与条件收敛199

11.3幂级数201

一、函数项级数201

二、幂级数及其收敛域202

三、幂级数的运算204

11.4函数的幂级数展开式206

一、函数展开成幂级数206

二、函数的幂级数展开式的应用210

11.5傅里叶级数214

一、三角级数及三角函数系的正交性214

二、函数展开成傅里叶级数215

附录1 数学建模简介224

一、什么是数学模型224

二、数学模型的分类224

三、数学建模的过程225

四、数学建模的方法225

五、建模示例226

附录2 Matlab软件简介及其应用230

一、Matlab基本用法230

二、Matlab的六大常见符号运算232

三、Matlab中的图形235

习题答案与提示245

参考文献263