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第一章 绪论1

1.1 数值计算方法研究的对象、内容及特点1

1.2 误差3

1.2-1 误差的来源及分类3

1.2-2 绝对误差（限）、相对误差（限）及与有效数字问的关系5

1.2-3 数值运算中误差的影响9

1.3 算法的数值稳定性11

习题13

第二章 插值法14

2.1 基本概念14

2.2 拉格朗日（Lagrange）插值15

2.2-1 插值问题的基本提法15

2.2-2 插值多项式的存在唯一性16

2.2-3 插值余项16

2.2-4 拉格朗日插值多项式18

2.3 逐次线性插值25

2.4 差商与牛顿（Newton）插值27

2.5 差分及等距节点的牛顿插值32

2.6 分段低次插值多项式39

2.7 三次埃尔米特（Hermite）插值42

2.7-1 插值问题的基本提法42

2.7-2 插值公式的构造42

2.8 三次样条插值46

2.8-1 插值问题的基本提法47

2.8-2 三次样条插值公式49

习题二63

上机计算题67

第三章 曲线拟合的最小二乘法69

3.1 最小二乘拟合问题70

3.2 最小二乘解的求法71

3.3 非线性最小二乘拟合的线性化79

3.4 加权最小二乘法83

3.5 利用正交多项式做最小二乘拟合86

3.6 多变量的曲线拟合91

习题三94

第四章 数值积分96

4.1 牛顿－柯特斯（Newton-Cotes）求积公式96

4.1-1 插值型求积公式97

4.1-2 牛顿－柯特斯求积公式98

4.2 代数精度与误差估计101

4.2-1 代数精度101

4.2-2 误差估计104

4.3 复化公式及误差估计107

4.4 梯形逐次分半求积公式114

4.4-1 步长的自动调整114

4.4-2 梯形的逐次分半算法116

4.5 龙贝格（Romberg）求积公式120

4.6 高斯（Gauss）型求积公式126

4.6-1 正交多项式128

4.6-2 正交多项式与高斯点组的关系131

4.6-3 高斯型求积公式131

4.6-4 复化高斯型求积公式139

4.7 求积公式的收敛性与稳定性140

4.8 二重数值积分142

4.8-1 复化求积公式143

4.8-2 高斯型求积公式146

习题四148

第五章 解线代数方程组的直接法152

5.1 高斯（Gauss）消去法153

5.1-1 计算公式153

5.1-2 高斯消去法计算量的估计158

5.1-3 高斯消去法进行到底的条件159

5.2 矩阵的三角分解160

5.2-1 初等下三角矩阵（高斯变换矩阵）160

5.2-2 矩阵的三角分解162

5.2-3 矩阵三角分解的计算格式165

5.3 直接三角分解法解方程组168

5.4 选主元消去法170

5.4-1 完全主元素消去法171

5.4-2 列主元素消去法173

5.5 解对称正定矩阵方程组的平方根法及改进175

5.5-1 平方根法175

5.5-2 改进平方根法177

5.6 解三对角方程组的追赶法180

5.7 用直接法解大型带状方程组184

5.7-1 三角分解法解等带宽方程组184

5.7-2 改进平方根法解对称正定带状方程组187

5.7-3 带状阵的压缩存贮188

5.7-4 用改进平方根法解大型变带宽对称正定方程组Ax=b192

习题五197

上机计算题199

第六章 解线代数方程组的迭代法201

6.1 向量与矩阵的范数201

6.1-1 向量的范数201

6.1-2 矩阵的范数204

6.1-3 矩阵的谱半径及其与范数的关系208

6.2 解Ax=b的迭代法211

6.3 雅可比（Jacobi）迭代法与高斯－塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法213

6.3-1 雅可比迭代法213

6.3-2 高斯－塞德尔迭代法214

6.3-3 雅可比迭代法和高斯－塞德尔迭代法的矩阵表示216

6.4 迭代法的收敛性与误差估计218

6.5 松弛迭代法226

6.5-1 理查逊迭代法与雅可比超松弛迭代法226

6.5-2 逐次超松弛迭代法（SOR方法）228

6.5-3 对称的SOR迭代法（SSOR方法）232

6.6 解特殊方程组的收敛性233

6.7 方程组的条件数与病态方程组的求解236

6.7-1 方程组的状态与条件数236

6.7-2 病态方程组的识别及求解243

习题六249

上机计算题253

第七章 方程求根254

7.1 引言254

7.2 二分法（对分法）257

7.3 简单迭代法及收敛性260

7.3-1 化等价方程260

7.3-2 迭代法261

7.3-3 几何意义263

7.3-4 迭代法的收敛性与误差估计265

7.4 牛顿（Newton）迭代法及变形271

7.4-1 迭代法的收敛阶271

7.4-2 牛顿迭代法（切线法）271

7.4-3 牛顿迭代法的收敛性与收敛阶273

7.4-4 牛顿迭代法的变形278

7.5 割线法与抛物线法282

7.5-1 割线法282

7.5-2 抛物线法285

7.6 埃特金（Aitken）加速法286

习题七290

第八章 非线性方程组的迭代法解法292

8.1 多元分析简介293

8.1-1 非线性映象的微商293

8.1-2 非线性映象的积分295

8.2 简单选代法298

8.3 牛顿迭代法及其变形308

8.3-1 牛顿迭代法308

8.3-2 牛顿型迭代法310

8.3-3 收敛性的讨论313

8.4 离散型牛顿法316

8.4-1 映象的线性插值317

8.4-2 割线法及离散牛顿型方法317

8.5 拟牛顿法320

8.5-1 布罗依登（Broyden）算法321

8.5-2 PSB算法322

8.5-3 DFP算法324

8.5-4 BFGS算法324

习题八325

第九章 矩阵特征问题的求解328

9.1 引言328

9.2 乘幂法与反幂法331

9.2-1 乘幂法331

9.2-2 乘幂法的加速及降阶339

9.2-3 反幂法343

9.3 子空间迭代法344

9.4 对称矩阵的雅可比（Jacobi）旋转法347

9.4-1 平面旋转阵（吉文斯变换）348

9.4-2 雅可比旋转法352

9.4-3 雅可比过关法356

9.5 QR算法357

习题九363

上机计算题364

第十章 常微分方程数值解法366

10.1 初值问题数值解的概念366

10.2 几种简单的数值方法367

10.2-1 数值公式的构造367

10.2-2 收敛性及误差估计368

10.2-3 隐格式的迭代求解371

10.2-4 改进欧拉方法373

10.3 龙格－库塔（Runge-Kutta）方法376

10.4 单步法的收敛性及稳定性380

10.4-1 收敛性380

10.4-2 稳定性383

10.5 线性多步法387

10.5-1 插值法求解线性多步法公式387

10.5-2 待定系数法394

10.6 预估－校正法396

10.7 一阶常微分方程组与高阶方程的数值解法399

10.7-1 一阶常微分方程组的数值解法399

10.7-2 高阶方程数值解法402

10.8 边值问题的差分解法404

10.8-1 差分方程的建立405

10.8-2 差分方程解的存在与唯一性406

10.8-3 差分方程的收敛性及误差估计408

10.8-4 解差分方程组的追赶法410

10.8-5 对一般二阶常微分方程第三边值问题的数值解法411

习题十414

参考书目419