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目录1

第五章 变分法1

§1 变分法的基本概念1

1.1 泛函定义及举例1

1.2 变分问题举例3

1.3 泛函的绝对极值、相对极值5

习题16

§2 最简单的变分问题7

2.1 欧拉方程的推导7

2.2 从欧拉方程求变分问题的驻值线（方法与举例）10

2.3 活动端点的变分问题15

习题217

附录 泛函J〔y(x)〕的极值判别方法19

习题22

二次微分23

3.1 多元函数的一次微分、23

§3 泛函的变分概念23

3.2 泛函的一次变分δJ24

3.3 二次变分的定义29

3.4 泛函的一次、二次变分同改变量？J间的关系30

3.5 泛函的导数同变分间的关系32

3.6 函数的微分与泛函的变分的33

比较33

3.7 泛函的极值定理34

3.8 变分运算规则36

3.9 例题37

习题340

§4 其它类型的变分问题41

4.1 F〔x,y,y′,y″,…,y(n)〕类型的变分问题41

4.2 F（x,y1,y2,…,yn; y′1,43

y′2,…,y′n）类型的变分问题43

泛函47

4.3 依赖于二元函数z（x,y）的47

4.4 依赖于二元函数z（x,y）的泛函的积分式中含有二阶偏导数的情况51

习题452

附录 Dirich Let原理53

§5 受有约束的变分问题56

5.1 受有函数形式的约束的变分57

问题57

5.2 受有积分形式的约束的变分66

问题66

习题570

§6 常微分方程的固有值问题，它同变分问题的关系74

6.1 什么是常微分方程的固有值74

问题74

6.2 固有函数的一些性质75

6.3 常微分方程的固有值问题同变分问题间的关系80

7.1 哈密尔顿原理叙述（直角82

坐标系）82

及其应用82

§7 哈密尔顿（HamiLton）原理82

7.2 广义坐标系下的哈密尔顿原理85

7.3 哈密尔顿原理应用举例87

7.4 哈密尔顿原理的应用（续）89

习题792

第六章 矢量与场论96

§1 矢量代数简介96

1.1 矢量与数量96

1.2 矢量的加、减法96

1.3 矢量的坐标表示97

1.4 矢量的乘法——数积、矢积、混合积98

1.5 应用举例100

习题1102

2.1 矢量函数103

§2 矢量分析103

2.2 矢量函数的极限104

2.3 矢量函数的连续105

2.4 矢量函数的导数105

2.5 矢量函数的微分108

2.6 求导公式及举例108

2.7 矢量函数的积分111

2.8 应用——力学问题113

习题2116

§3 场118

3.1 数量场与矢量场118

3.2 点函数118

3.3 数量场的等值面与矢量场的119

等量线119

4.1 方向导数121

§4 数量场的梯度121

习题3121

4.2 数量场的梯度123

4.3 梯度的性质125

4.4 应用举例126

习题4127

§5 矢量场的散度128

5.1 矢量场的通量128

5.2 矢量场的散度130

5.3 散度的计算132

5.4 散度的性质及计算举例134

5.5 高斯（Gauss）公式及其应用135

习题5140

§6 矢量场的旋度141

6.1 矢量场的环量141

6.2 矢量场的旋度144

6.3 旋度的计算146

6.4 旋度的性质及举例148

6.5 斯托克斯（Stokes）公式及格150

林（Green）公式150

习题6153

§7 关于算符？及△154

7.1 算符与公式154

7.2 举例157

习题7158

§8 几种常用的场159

8.1 有势场159

8.2 管形场161

8.3 调和场与调和函数163

习题8164

？·？、？×？、△u165

9.1 曲线坐标165

§9 曲线坐标及曲线坐标下的？u、165

9.2 正交曲线坐标167

9.3 正交曲线坐标下的？u169

9.4正交曲线坐标系下的？·？与171

？×？171

9.5正交曲线坐标系下的△u174

9.6柱面坐标与球面坐标下的？u、175

？·？、？×？、△u及其它有175

关量175

习题9176

§10 应用问题举例177

10.1 电磁场方面的应用——麦克斯韦方程组177

10.2 流体力学方面的应用——连续性方程181

10.3 热传导方面的应用——热传导方程182

习题10184

§1 误差185

第七章 数值计算方法185

§2 线性方程组188

2.1 引言188

2.2 高斯消去法188

2.3 无回代主元素法（约当法）190

2.4 行列式、逆矩阵193

2.5 消去法的误差195

2.6 简单迭代法（雅可比迭代法）198

2.7 松弛迭代法·赛德尔迭代法202

2.8 对称方程组的平方根法204

2.9 三对角方程组的追赶法206

§3 一元非线性方程式209

3.1 求实根的区间二分法209

3.2 弦位法210

3.3 牛顿法211

3.4 抛物线法212

§4 矩阵的特征值、特征向量214

4.1 特征值问题214

4.2 求绝对值最大的特征值及其对应的特征向量的乘幂法及反乘幂法215

4.3 实对称矩阵的雅可比方法219

4.4 求矩阵全部特征值的QR方法223

§5 数值逼近238

5.1 拉格朗日插值公式238

5.2 牛顿插值公式·差商241

5.3 等距插值点的插值公式·差分244

5.4 样条函数插值法248

5.5 曲线的拟合·最小二乘法251

§6 数值微分和数值积分255

6.1 数值微分255

6.2 数值微分的误差259

6.3 牛顿-柯特斯数值积分公式259

6.4 复化求积公式262

6.5 样条函数数值积分法264

§7 常微分方程初值问题265

7.1 折线法与改进折线法265

7.2 龙格-库塔法267

7.3 一阶微分方程组初值问题269

§8 常微分方程边值问题270

8.1 边值问题的一般概念270

8.2 差分方法及差分方程的追赶法271

8.3 样条函数方法274

§9 拉普拉斯方程277

9.1 拉普拉斯方程的差分方程277

9.2 差分方程解的存在、唯一性282

9.3 差分方程的迭代解法283

9.4 一般二阶椭圆型方程的差286

分解法286

10.1 热传导方程的显式差分方程287

§10 热传导方程287

10.2 隐式差分方程及其追赶解法289

10.3 差分方程的收敛性及稳定性290

10.4 第三边值问题的差分方程295

§11 波动方程296

11.1 初值问题的差分方程296

11.2 混合问题的差分方程297

11.3 差分方程的收敛性及稳定性300

第八章 概率论302

§1 事件与概率302

1.1 样本空间302

1.2 事件303

1.3 事件的运算304

1.4 频率305

1.5 概率的定义307

1.6 古典型的概率计算310

1.7 条件概率315

1.8 事件的独立性318

习题1322

§2 随机变量327

2.1 随机变量327

2.2 分布函数330

2.3 离散型随机变量331

2.4 连续型随机变量334

2.5 随机向量336

2.6 随机变量的独立性341

习题2345

§3 数字特征350

3.1 数学期望350

3.2 方差358

3.3 车贝晓夫不等式362

3.4 相关系数363

3.5 矩366

3.6 中数368

习题3370

§4 常用离散型概率分布374

4.1 0-1分布374

4.2 均匀分布375

4.3 二项分布375

4.4 超几何分布380

4.5 普阿松分布382

4.6 几何分布385

4.7 巴斯卡分布387

4.8 多项分布388

习题4390

§5 常用连续型概率分布392

5.1 均匀分布392

5.2 正态分布393

5.3 指数分布399

5.4 Γ-分布400

5.5 B-分布401

5.6 韦布分布401

5.7 拉普拉斯分布402

5.8 多元正态分布403

习题5406

§6 随机变量的函数409

6.1 随机变量的函数分布409

6.2 随机向量的函数的分布413

6.3 顺序统计量的分布416

6.4 随机向量的变换418

6.5 x2-分布421

6.6 t-分布424

6.7 F-分布425

习题6427

§7 极限定理430

7.1 大数定律430

7.2 车贝晓夫大数定律431

7.3 贝努里大数定律434

7.4 中心极限定理435

7.5 林德伯格-勒维定理435

7.6 德莫佛-拉普拉斯定理437

7.7 格德伯格定理440

习题7441

附录一 常用分布表444

附录二 二项分布？pk（n,p）的447

数值表447

附录三 普阿松分布448

？pk（λ）的数值表448

附录四 正态分布数值表450