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第一部分 Hilbert 空间及算子的意义1

第一章 Hilbert 空间的意义1

1 Hilbert 空间的定义1

2 Hilbert 空间的例子 L2(α，β)4

3 Hilbert 空间的例子 A2(G)7

第二章 Hilbert 空间的推广10

4 线性算子、连续性10

5 Banach 空间13

6 单直空间的完备化16

7 准？直空间19

第三章 射影22

8 直交补空间22

9 射影分解24

10 射影算子间的关系27

第四章 直和及无序和31

11 Hilbert 空间的直和31

12 无序和34

13 无限个 Hilbert 空间的直和37

第五章 Riesz 定理及应用42

14 Riesz 定理(又叫 Fr＇echet-Riesz 定理)42

15 Lebesgue-Nikodym 定理的证明47

16 再生核51

17 Bergmann 的核函数56

第六章 单直基60

18 单直基的意义 Gram-Schmidt 操作60

19 Fourier 展开62

20 维数65

21 核函数再生核之具体表现—单直基之应用68

第七章 收敛及算子72

22 Gelfand 定理及共鸣定理72

23 强收敛和弱收敛74

24 算子的均匀收敛和收敛76

第八章 闭性与同伴79

25 同伴算子79

26 闭算子80

27 对称性和自伴性83

第九章 测度与积分的复习88

28 备忘：积分论的一些事实88

29 备忘：测度的集合95

30 Helly 的选出定理98

31 Herglotz 定理101

第十章 矢值及算子值测度108

32 射影值及直交矢值测度108

33 一般算子值及矢值测度112

34 一般积分的性质119

35 无栏函数之积分124

第二部分 值谱分解134

第十一章 值谱分解绪论134

36 长期平均(遍历性)定理134

37 Bochner 定理138

38 Fourier 变换142

39 Fourier 变换的值谱分解145

40 单直算子值谱分解147

41 J.Von Neumann 的值谱分解定理152

第十二章 值谱分解，自伴算子152

42 固有值谱160

43 例：乘法算子及算子 q·p 之值谱分解167

44 完全连续算子171

45 自伴性之判认175

46 正定算子的性质181

第十三章 正规算子的值谱分解189

47 密在闭算子的标准写法189

48 正规算子的值谱分解193

49 Hilbert 空间的完全连续算子，Sch-midt 算子200

50 可跡算子203

第十四章 正规算子底正规函数209

51 算子的函数关联与可换性209

52 同时值谱分解定理212

53 单纯值谱算子214

54 空间的直积分与正规算子的表现216

55 闭对称算子之缺陷222

第十五章 Neumark 的理论222

56 例：算子？225

57 Neumark 的延拓232

58 Neumark 定理：广义的单么分解235

第三部分 应用及补充239

第十六章 Hilbert 张量积239

59 张量积239

60 对称性、Crassmann ？244

第十七章 吉田理论251

61 一参数半群251

62 半群底母算子255

63 母算子底例260

64 由母算子定半群及母算子的刻划265

65 Trotter-Kato 的加法公式271

第十八章 一些机率分布277

66 Bochner-khinchin 定理 Stone 定理277

67 常态分布281

68 Hermite 多项式283

69 调和振子289

70 Poisson 变数的函数：Charlier 变数294

第十九章 过程论298

71 Hilbert 空间与仿机率空间298

72 直交矢值测度与彷公平赌程305

73 Wiener 过程307

74 附录 Levy 过程311

75 仿平稳过程317

第二十章 廻旋317

76 相关函数的意义320

77 对拟平稳过程的线性运算(或？滤过)322

78 自回归叙列327

79 ARMA 叙列331

80 Wold 分解332

81 预测336

82 常态平稳过程348

83 抽象的 Ito 积分352

84 多重 Wiener 积分357

85 仿平稳增量过程363

86 仿 Markov 过程及 Langevin 方程367

第二十一章 保测性和遍历性371

87 保测变换371

88 测度的可？性和遍历性373

89 长期平均定理376

90 平稳定常过程的遍历性378

91 Wigner 定理381

第二十二章 在量子力学的应用381

92 量子力学的公理化384

93 Feynman 积分389

94 Hamilton 算子自伴性的认定394

95 正准交换关系399

96 Fock 表现406

第二十三章 荷布空间411

97 核式列直空间，极限空间411

98 荷布空间 D，Wk 与 Hk414

99 环体 TN 上的荷布418

100 空间 S423

101 Sobolev 补题427

102 Garding 不等式431

103 Friedrichs 定理436

第二十四章 Hilbert 空间上的测度442

104 拟不变测度442

105 正定号连续函数448

106 Kakutani 内积455

107 Gauss 测度460

108 再论 C.C.R467

附录472

附1 一个 Mini 一课程的大纲472

附2 可换的重度论479

注解 译词及符号488

书目和建议490

索引493

跋494