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第五章 多元函数微分学及其应用1

第一节 n维Euclid空间点集拓扑初步1

1．1 n维Euclid空间R~n1

1．2 R~n中点列的极限2

1．3 R~n中的开集与闭集4

1．4 R~n中的紧集与区域9

习题5．110

第二节 多元函数的极限与连续性11

2．1 多元函数的概念11

2．2 多元函数的极限与连续性13

2．3 多元连续函数的性质17

习题5．218

第三节 多元数量值函数的导数与微分20

3．1 方向导数与偏导数20

3．2 全微分25

3．3 梯度及其与方向导数的关系33

3．4 高阶偏导数和高阶全微分37

3．5 多元复合函数的偏导数和全微分39

3．6 由一个方程确定的隐函数的微分法46

习题5．348

第四节 多元函数的Taylor公式与极值问题51

4．1 多元函数的Taylor公式52

4．2 无约束极值，最大值与最小值55

4．3 有约束极值，Lagrange乘数法65

习题5．468

5．1 向量值函数的方向导数与偏导数69

第五节 多元向量值函数的导数与微分69

5．2 向量值函数的导数与微分71

5．3 微分运算法则75

5．4 由方程组所确定的隐函数的微分法77

习题5．582

第六节 多元函数微分学在几何上的简单应用83

6．1 空间曲线的切线与法平面83

6．2 弧长89

6．3 曲面的切平面与法线93

习题5．6101

第七节 空间曲线的曲率与挠率103

7．1 Frenet标架103

7．2 曲率107

7．3 挠率115

7．4 Frenet公式118

习题5．7119

综合练习题120

第六章 多元函数积分学及其应用121

第一节 多元数量值函数积分的概念与性质121

1．1 物体质量的计算121

1．2 多元数量值函数积分的概念123

1．3 积分存在的条件和性质126

习题6．1127

第二节 二重积分的计算127

2．1 二重积分的几何意义127

2．2 直角坐标系下二重积分的计算法128

2．3 极坐标系下二重积分的计算法135

2．4 曲线坐标下二重积分的计算法140

习题6．2145

第三节 三重积分的计算148

3．1 化三重积分为单积分与二重积分的累次积分148

3．2 柱面与球面坐标下三重积分的计算法152

习题6．3161

第四节 重积分的应用162

4．1 重积分的微元法163

4．2 应用举例166

习题6．4170

第五节 含参变量的积分与反常重积分171

5．1 含参变量的积分171

5．2 含参变量的反常积分175

5．3 反常重积分178

习题6．5181

6．1 第一型线积分182

第六节 第一型线积分与面积分182

6．2 第一型面积分186

习题6．6191

第七节 第二型线积分与面积分193

7．1 场的概念194

7．2 第二型线积分196

7．3 第二型面积分202

习题6．7210

第八节 各种积分的联系及其在场论中的应用213

8．1 Green公式213

8．2 平面线积分与路径无关的条件218

8．3 Stokes公式与旋度226

8．4 Gauss公式与散度232

8．5 几种重要的特殊向量场239

习题6．8245

综合练习题247

1．1 微分方程与微分方程组249

第一节 常微分方程的基本知识249

第七章 常微分方程249

1．2 微分方程及其解的几何解释254

1．3 可积组合与首次积分257

习题7．1264

第二节 线性微分方程组265

2．1 齐次线性微分方程组266

2．2 非齐次线性微分方程组271

习题7．2275

第三节 常系数线性微分方程组276

3．1 常系数齐次线性微分方程组的求解277

3．2 常系数非齐次线性微分方程组的求解286

习题7．3294

第四节 高阶线性微分方程295

4．1 高阶线性微分方程解的结构296

4．2 高阶常系数线性微分方程的求解297

4．3 高阶变系数线性微分方程的求解问题310

习题7．4314

第五节 微分方程的定性分析方法初步316

5．1 自治系统与非自治系统316

5．2 稳定性的基本概念318

5．3 判定稳定性的Liapunov函数法320

5．4 由线性近似系统判定稳定性326

习题7．5339

综合练习题340

第八章 无限维分析入门342

第一节 从有限维空间到无限维空间342

1．1 多维空间概念的现实基础342

1．2 为什么要研究无限维空间344

1．3 数学中空间概念的含义347

第二节 赋范线性空间与压缩映射原理348

2．1 内积空间348

2．2 赋范线性空间351

2．3 赋范线性空间的收敛性与拓扑结构354

2．4 空间的完备性358

2．5 压缩映射原理及其应用361

习题8．2365

第三节 Lebesgue积分与L~p([a，b])空间367

3．1 从R积分到L积分367

3．2 点集的Lebesgue测度与可测函数369

3．3 Lebesgue积分374

3．4 L~p([a，b])空间380

习题8．3382

第四节 Hilbert空间与最佳逼近问题383

4．1 正交投影与正交分解383

4．2 最佳逼近问题387

4．3 Hilbert空间的正交系与Fourier展开390

4．4 L~2([a，b])空间的Fourier展开与最佳均方逼近394

习题8．4397

习题答案与提示398

参考文献420