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绪论1

第1章 预备知识7

1.1逻辑基础7

1.1.1语句真假判定7

1.1.2表达式及其语义解释12

1.2集合论基础21

1.2.1属于与相等21

1.2.2基本存在性25

1.2.3函数29

1.2.4 函数半群32

1.2.5置换群34

1.2.6等价关系40

1.2.7势比较43

1.2.8练习44

1.3自然数有序集合45

1.3.1递归定义定理53

1.3.2自然数有序半环60

1.3.3自然数数组有序加法半群73

1.3.4 练习82

1.4有限集与无限集84

1.4.1有限集合84

1.4.2 自然数平面之势86

1.4.3连续统势87

1.4.4练习88

1.5 有限置换群89

1.5.1置换分解与置换符号90

1.5.2群同态与同构101

1.5.3置换群分类与包络定理105

1.5.4练习109

第2章 整数与分数113

2.1整数有序环113

2.1.1整数及其算术运算113

2.1.2整数算术基本定理122

2.1.3循环群131

2.1.4练习135

2.2同余类环和域136

2.3整系数多项式环142

2.3.1单变元项及单变元多项式函数143

2.3.2函数环150

2.3.3多变元项及多元多项式函数151

2.3.4练习155

2.4有理数有序域155

2.4.1有理数及其算术运算155

2.4.2有理数序特征163

2.4.3素数开方问题167

2.4.4练习168

2.5有理平面有序域170

2.5.1线性结构171

2.5.2正方根乘法190

2.5.3练习197

2.6有理系数多项式环199

2.6.1有理数值函数环200

2.6.2 单变元项与单变元多项式函数202

2.6.3 n-变元项及其n-元多项式函数解释204

2.6.4分式域208

2.7练习211

第3章 实数与复数214

3.1实数214

3.1.1实数及其序214

3.1.2实数代数运算216

3.2实数结构代数特性225

3.2.1实系数多项式环225

3.2.2实线性函数233

3.2.3实数结构基本代数特性234

3.2.4练习239

3.3实平面R2241

3.3.1线性运算242

3.3.2实线性函数247

3.3.3度量248

3.3.4可构造数域K250

3.3.5 练习258

3.4方阵空间M2（R）258

3.4.1二维实线性映射258

3.4.2线性空间M2 （R）260

3.4.3二阶行列式265

3.4.4线性单射与满射268

3.4.5四元数体273

3.4.6练习280

3.5复数281

3.5.1复数集合及其代数运算281

3.5.2复系数多项式环287

3.5.3复数域代数封闭性294

3.6练习297

第4章 多项式整环299

4.1序列多项式环299

4.2多变元多项式308

4.2.1序列多元多项式环308

4.2.2多元对称函数子环和对称多项式子环315

4.3因式分解320

4.3.1因式321

4.3.2因式分解唯一性326

4.4多项式不可约性334

4.4.1有理系数不可约多项式334

4.4.2根与线性因子340

4.4.3实系数和复系数不可约多项式349

4.4.4 根与系数的关系354

4.4.5练习365

第5章 M3（R）与M34 （R）368

5.1矩阵空间M3（R）368

5.1.1线性运算369

5.1.2矩阵乘法370

5.1.3三元实线性方程组374

5.1.4三阶行列式396

5.2 R3407

5.2.1线性运算407

5.2.2线性独立性409

5.2.3度量412

5.2.4叉积414

5.2.5三元实线性函数与实线性算子418

5.2.6练习421

5.2.7附录：行列式几何解释423

第6章 矩阵空间Mmn（F）431

6.1矩阵与向量431

6.1.1线性运算432

6.1.2矩阵乘法434

6.2线性方程组437

6.3线性空间Fn444

6.4矩阵与线性映射455

6.5行列式函数486

6.6练习522

第7章 线性空间与线性映射533

7.1线性空间533

7.1.1线性子空间534

7.1.2直和分解541

7.2线性同构与自同构549

7.2.1坐标映射550

7.2.2自同构552

7.2.3练习555

7.3线性映射561

7.4线性函数572

7.4.1对偶空间L1 （Fn，F）574

7.4.2对偶空间L1 （V，F）576

7.4.3练习588

7.5线性算子590

7.5.1算子代数590

7.5.2 可逆线性算子595

7.5.3相似性597

7.5.4标准计算矩阵601

7.5.5李代数简介655

7.5.6练习656

第8章 多重线性函数664

8.1双线性函数664

8.1.1对称双线性函数与二次型672

8.1.2二次型标准化方法681

8.1.3实二次型686

8.1.4斜对称双线性型697

8.1.5练习705

8.2 Rn上的共变张量713

8.3抽象张量719

8.3.1张量与张量空间720

8.3.2张量积723

8.3.3张量代数740

8.3.4斜对称张量外积代数742

8.3.5练习760

第9章 内积空间763

9.1实欧几里得空间763

9.1.1实对称正定双线性型763

9.1.2实度量765

9.1.3正交性767

9.1.4练习784

9.2复内积空间788

9.2.1埃尔米特型788

9.2.2复度量791

9.2.3正交性791

9.3内积空间算子理论793

9.3.1线性算子与共轭线性函数794

9.3.2自伴算子797

9.3.3保距算子799

9.3.4规范算子805

9.3.5练习815

第10章 几何向量空间820

10.1仿射空间820

10.2练习838

10.3欧几里得空间840

10.4练习861

10.5射影空间863

10.6练习866

10.7罗巴切夫斯基空间867

10.8闵可夫斯基空间870

参考文献876

索引877

《现代数学基础丛书》已出版书目883