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第一章 典型方程与典型定解问题1

1 偏微分方程举例和基本概念1

1.1 偏微分方程举例1

1.2 基本概念2

习题3

2 热传导方程及其定解问题4

2.1 热传导问题的提出4

2.2 热传导方程5

2.3 热传导方程的定解条件8

2.4 热传导方程的典型定解问题10

2.5 低维热传导方程及其定解问题12

习题13

3 波动方程及其定解问题14

3.1 波动方程的物理背景14

3.2 弦的微小横振动方程15

3.3 弦振动方程的定解条件18

3.4 弦振动方程的典型定解问题21

3.5 二维和三维波动问题22

习题23

4 位势方程及其定解问题23

4.1 位势方程23

4.2 典型定解问题24

习题25

5.1 衔接条件26

5 衔接条件和方程的分类与标准型26

5.2 二阶线性偏微分方程的分类与标准型28

习题33

6 适定性概念和课程的基本内容34

6.1 适定性概念34

6.2 课程的基本内容35

7 叠加原理36

7.1 方程型的叠加原理37

7.2 定解问题型的叠加原理38

习题39

1 Duhamel原理40

1.1 Duhamel原理40

第二章 行波法40

1.2 Duhamel原理的物理背景41

习题42

2 一维波动问题43

2.1 无界弦的自由振动43

2.2 无界弦的强迫振动45

习题46

3 空间波动方程47

3.1 球面波方程47

3.2 空间齐次波动问题49

3.3 空间非齐次波动问题52

3.4 二维波动问题54

习题56

4.1 d′Alembert公式的物理意义57

4 波动问题解的物理性质57

4.2 依赖区域、决定区域和影响区域59

4.3 空间波传播的物理性质62

4.4 二维波传播的物理性质64

第三章 分离变量法66

1 常微分方程的本征值问题66

1.1 第一齐边值条件的本征值问题66

1.2 第二齐边值条件的本征值问题68

习题69

2 弦振动方程的第一边值问题70

2.1 齐方程齐边值条件的情形70

2.2 非齐方程齐边值条件的情形73

2.3 非齐方程非齐边值条件的情形77

2.4 解的物理意义78

习题80

3 热传导方程的第二边值问题82

3.1 齐边值条件的情形82

3.2 非齐边值条件的情形85

习题86

4 位势方程的第一边值问题87

4.1 矩形域上的第一边值问题87

4.2 圆域上的第一边值问题89

习题93

1 积分变换的一般概念95

1.1 基本定义95

第四章 积分变换法95

1.2 常见的积分变换96

1.3 积分变换的作用98

2 Fourier积分公式98

2.1 Fourier积分公式的形式推导98

2.2 Fourier积分公式成立的充分条件101

习题104

3 Fourier变换105

3.1 Fourier变换的概念105

3.2 Fourier变换的基本性质106

3.3 多重Fourier变换108

习题109

4.1 齐方程的初值问题111

4 Fourier变换的应用111

4.2 非齐方程的初值问题112

4.3 半无界区间上的边值问题114

习题117

5 Lapace变换118

5.1 Laplace变换的形式推导118

5.2 存在定理与反演公式120

5.3 展开定理124

习题135

6 Laplace变换的基本性质及其应用135

6.1 Laplace变换的基本性质135

6.2 热传导方程的初值问题144

6.3 热传导方程的混合问题149

习题151

第五章 Green函数法153

1 δ－函数153

1.1 δ－函数的定义153

1.2 δ－函数的物理意义154

1.3 δ－函数作为普通函数的弱极限155

1.4 弱相等概念和δ－函数的性质159

1.5 高维δ－函数163

习题163

2 解初值问题的Green函数法164

2.1 基本思想164

2.2 解一维初值问题的Green函数法166

2.3 解三维初值问题的Green函数法169

习题173

3 解混合问题的Green函数法174

3.1 Green函数的概念及其表达式174

3.2 Green函数法175

习题175

4 解Poisson方程第一边值问题的Green函数法176

4.1 Green第一公式和第二公式176

4.2 点源场177

4.3 Green函数及其物理意义178

4.4 Green函数法180

4.5 求Green函数的静电源象法184

4.6 Green函数的对称性189

习题192

第六章 变分原理与变分方法196

1 单积分型泛函的变分问题197

1.1 模型问题197

1.2 变分问题的确切提法198

1.3 变分原理——Euler方程201

1.4 泛函的变分206

1.5 二阶变分和极值函数的充分条件207

1.6 多个函数的变分问题209

习题212

2 重积分型泛函的变分问题213

2.1 极小曲面问题213

2.2 变分问题及其原理214

2.3 J（u）的一阶变分218

习题219

3 条件极值220

3.1 等周问题220

3.2 一般变分问题220

3.3 等周问题的解223

习题225

4 自然边值条件227

4.1 变动端点问题的自然边值条件227

4.2 变动边值问题的自然边值条件229

4.3 更一般的泛函的自然边值条件231

5 变分法与数学物理定解问题234

5.1 极值原理234

习题234

5.2 膜的微小横振动方程235

习题237

6 边值问题与变分问题237

6.1 变分方法大意237

6.2 常微边值问题对应的变分问题238

6.3 Poison方程对应的变分问题241

7 解变分问题的直接方法242

7.1 一个常微分方程边值问题解的存在与唯一性242

7.2 直接方法的基本思想244

7.3 作极小函数列的Ritz方法244

7.4 解变分问题的Ritz方法252

7.5 解变分问题的Galerkin方法254

习题256

8 解本征值问题的变分方法259

8.1 本征值和本征函数的一些性质259

8.2 本征值问题与变分问题261

8.3 本征值和本征函数的求法举例263

第七章 定解问题的唯一性与稳定性267

1 弦振动方程混合问题解的唯一性267

1.1 能量守恒原理267

1.2 唯一性定理269

习题271

2 位势方程边值问题的适定性273

2.1 调和函数的积分表达式273

2.2 极值原理276

2.3 唯一性与稳定性定理279

2.4 可微性定理281

习题282

3 热传导方程混合问题解的唯一性与稳定性283

3.1 极值原理283

3.2 唯一性与稳定性285

习题287

4 不适定问题的例子287

4.1 Laplace方程的不适定例子287

4.2 弦振动方程的不适定例子288

5 广义解289

5.1 解的概念应当推广289

5.2 广义解的概念291

5.3 广义解的进一步讨论294

5.4 广义解的求法296

第八章 附录301

1 Fourier级数的逐项微商定理301

1.1 展开定理及其推论301

1.2 基本引理302

1.3 逐项微商定理307

2 形式解为真解的条件308

2.1 第三章 的定解问题（2.1）—（2.3）308

2.2 第三章 的定解问题（4.11）—（4.12）309

3 一个函数系的完全性证明311

4 积分变换表313

提示和答案317