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第1章 基础知识1

1.1 集合1

1.1.1 集合的概念及表示法1

1.1.2 集合的运算3

习题1.14

1.2 映射5

1.2.1 映射的概念5

1.2.2 映射的运算7

习题1.210

1.3 整数的整除性理论10

1.3.1 带余除法10

1.3.2 整除性11

习题1.315

1.4 数学归纳法16

习题1.418

1.5 数域18

习题1.519

第2章 多项式20

2.1 一元多项式的运算和整除性20

2.1.1 一元多项式及其运算20

2.1.2 带余除法23

2.1.3 整除性24

习题2.126

2.2 最大公因式27

2.2.1 最大公因式的概念27

2.2.2 互素多项式31

习题2.233

2.3 因式分解34

2.3.1 不可约多项式34

2.3.2 因式分解唯一性定理35

2.3.3 重因式37

习题2.339

2.4 多项式函数40

2.4.1 多项式函数理论40

2.4.2 多项式的零点41

习题2.443

2.5 复系数多项式44

习题2.545

2.6 实系数多项式46

习题2.647

2.7 有理系数多项式47

习题2.752

第3章 行列式53

3.1 行列式的定义53

3.1.1 排列53

3.1.2 二阶行列式和三阶行列式56

3.1.3 n阶行列式的定义59

3.1.4 n阶行列式的等价定义61

习题3.162

3.2 行列式的性质63

习题3.270

3.3 行列式按行（列）展开71

3.3.1 余子式和代数余子式71

3.3.2 行列式按行（列）展开定理72

习题3.379

3.4 克拉默法则81

习题3.485

第4章 矩阵86

4.1 矩阵及其运算86

4.1.1 矩阵的概念86

4.1.2 矩阵的运算88

4.1.3 矩阵的转置93

习题4.195

4.2 逆矩阵96

4.2.1 逆矩阵的定义96

4.2.2 可逆矩阵的性质100

习题4.2101

4.3 分块矩阵103

4.3.1 分块矩阵的运算103

4.3.2 分块矩阵的逆矩阵107

习题4.3108

4.4 矩阵的初等变换和初等矩阵109

4.4.1 矩阵的初等变换109

4.4.2 初等矩阵109

习题4.4115

4.5 矩阵的秩115

4.5.1 矩阵的子式与矩阵的秩115

4.5.2 矩阵乘积的行列式与秩121

习题4.5123

第5章 线性方程组125

5.1 消元法125

习题5.1130

5.2 线性方程组有解的判别法130

习题5.2136

5.3 n维向量空间137

习题5.3140

5.4 向量的线性相关性141

5.4.1 向量的线性相关性概念141

5.4.2 向量组的极大线性无关组148

习题5.4156

5.5 线性方程组解的结构157

5.5.1 齐次线性方程组的基础解系157

5.5.2 非齐次线性方程组解的结构162

习题5.5166

第6章 二次型168

6.1 二次型及其矩阵表示168

6.1.1 二次型和对称矩阵168

6.1.2 矩阵合同171

习题6.1172

6.2 二次型的化简173

6.2.1 二次型的标准形173

6.2.2 二次型的化简方法177

习题6.2182

6.3 复数域和实数域上二次型182

6.3.1 复数域上二次型的规范形183

6.3.2 实数域上二次型的规范形184

习题6.3186

6.4 正定二次型186

6.4.1 正定二次型及其判定186

6.4.2 正定矩阵188

习题6.4192

第7章 线性空间194

7.1 线性空间的定义和性质194

7.1.1 线性空间的定义194

7.1.2 线性空间举例195

7.1.3 线性空间的简单性质195

习题7.1196

7.2 线性空间的维数与基197

7.2.1 向量的线性相关性197

7.2.2 维数与基198

习题7.2200

7.3 基变换与坐标变换200

7.3.1 过渡矩阵200

7.3.2 坐标变换201

习题7.3204

7.4 线性子空间205

7.4.1 线性子空间的概念205

7.4.2 生成子空间206

7.4.3 子空间的交与和207

7.4.4 维数公式209

习题7.4211

7.5 子空间的直和212

习题7.5214

7.6 线性空间的同构215

习题7.6217

第8章 线性变换218

8.1 线性变换及其基本运算218

8.1.1 线性变换的定义及举例218

8.1.2 线性变换的基本运算222

习题8.1225

8.2 线性变换和矩阵226

8.2.1 线性变换的矩阵226

8.2.2 相似矩阵232

习题8.2234

8.3 不变子空间235

8.3.1 定义及例子235

8.3.2 不变子空间与矩阵化简237

习题8.3238

8.4 矩阵的特征值与特征向量239

8.4.1 特征值与特征向量的概念239

8.4.2 特征值与特征向量的性质243

习题8.4247

8.5 可以对角化的矩阵248

习题8.5252

第9章 欧几里得空间254

9.1 向量的内积254

9.1.1 欧几里得空间的概念254

9.1.2 度量矩阵259

习题9.1261

9.2 标准正交基262

9.2.1 正交基的概念262

9.2.2 施密特正交化264

9.2.3 正交矩阵266

习题9.2268

9.3 欧氏空间的同构269

习题9.3270

9.4 正交变换271

9.4.1 正交变换及其等价定理271

9.4.2 正交变换的分类272

习题9.4273

9.5 子空间273

9.5.1 正交子空间273

9.5.2 正交补274

习题9.5275

9.6 对称变换和对称矩阵275

9.6.1 对称变换275

9.6.2 实对称矩阵的性质277

9.6.3 实对称矩阵的标准形278

9.6.4 实二次型的标准形281

习题9.6283

习题参考答案与提示285

参考文献312