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第一章 Rn中的拉普拉斯算子与热方程1

1.1历史背景1

1.2格林公式2

1.3热方程3

后记13

第二章 Rn中的函数空间15

2.1空间Ck和Lp15

2.2卷积与单位分解17

2.3光滑函数逼近可积函数20

2.4分布23

2.5利用光滑函数逼近分布28

2.6弱导数和索伯列夫空间33

2.7 Rn中的热半群40

后记47

第三章 黎曼流形上的拉普拉斯算子49

3.1光滑流形49

3.2切向量52

3.3黎曼距离56

3.4黎曼测度58

3.5散度定理63

3.6拉普拉斯算子和加权流形65

3.7子流形68

3.8乘积流形71

3.9 Rn， Sn， Hn中的极坐标73

3.10模型流形78

3.11路径的长度以及测地距离84

3.12光滑映射和等距同构90

后记94

第四章 拉普拉斯算子和L2 （M）中的热方程95

4.1分布与索伯列夫空间95

4.2 Dirichlet Laplace算子和预解式101

4.3热半群和L2-柯西问题110

后记120

第五章 弱极大值原理和相关话题121

5.1W 1/0中的链式法则121

5.2 W1中的链式法则125

5.3预解式的马尔可夫性和热半群129

5.4弱极大值原理133

5.5子集中的预解式和热半群141

后记148

第六章 Rn中的正则性理论149

6.1嵌入定理149

6.2两个技术性引理157

6.3局部椭圆正规性160

6.4局部抛物正则性169

后记180

第七章 流形上的热核183

7.1局部正则性问题183

7.2半群解的光滑性190

7.3热核198

7.4热半群的延拓202

7.5热核关于t， x， y的光滑性209

后记216

第八章 正解219

8.1热半群的极小性219

8.2预解式的延拓221

8.3强极大值/极小值原理224

8.4随机完备性233

后记243

第九章 作为基本解的热核245

9.1基本解245

9.2例子250

9.3全局解261

后记265

第十章 谱性质267

10.1希尔伯特空间中算子的谱267

10.2谱的下确界273

10.3底部特征函数277

10.4相对紧区域上的热核279

10.5极大极小值原理286

10.6离散谱及紧嵌入定理289

10.7λ1的正性293

10.8 logpt的长期渐进性质294

后记296

第十一章 距离函数和完备性297

11.1完备性的概念297

11.2利普希茨函数298

11.3本性自伴303

11.4随机完备性和体积增长306

11.5抛物流形315

11.6谱和距离函数319

后记321

第十二章 积分形式的高斯估计323

12.1积分极大值原理323

12.2 Davies-Gaffney不等式326

12.3高阶特征值的上界329

12.4具有调和初始函数的半群解333

12.5 Takeda不等式334

后记341

第十三章 格林函数和格林算子343

13.1格林算子343

13.2上平均函数350

13.3局部哈纳克不等式353

13.4α-调和函数序列的收敛358

13.5正谱359

13.6格林函数作为基本解361

后记364

第十四章 超压缩估计和特征值367

14.1超压缩和热核界367

14.2 Faber-Krahn不等式369

14.3纳什不等式370

14.4函数类L和Γ374

14.5 Faber-Krahn蕴含超压缩性382

14.6超压缩蕴含Faber-Krahn不等式384

14.7较大特征值的下界386

14.8直积上的Faber-Krahn不等式389

后记391

第十五章 点态高斯估计Ⅰ393

15.1 L2-平均值不等式393

15.2球中的Faber-Krahn不等式399

15.3热核加权L2-范数401

15.4在球的并集中的Faber-Krahn不等式404

15.5对角线以外的上界406

15.6相对Faber-Krahn不等式和Li-Yau上界411

后记416

第十六章 逐点高斯估计Ⅱ417

16.1 Pt f的加权L2-范数417

16.2热核的高斯上界422

16.3对角线上的下界424

16.4结语：构造热核的其他方法428

后记和进一步的参考资料429

附录A参考资料431

A.1希尔伯特空间431

A.2弱拓扑432

A.3紧算子434

A.4测度论和积分434

A.5自伴随算子444

A.6 Gamma函数455

参考文献457

符号列表479

名词索引481