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第一章 基本概念1

1.1 微分方程及其解的定义1

1.2 微分方程及其解的几何解释12

第二章 初等积分法19

2.1 恰当方程19

2.2 变量分离的方程25

2.3 一阶线性方程31

2.4 初等变换法38

2.4.1 齐次方程39

2.4.2 伯努利方程41

2.4.3 里卡蒂方程42

2.5 积分因子法46

2.6 应用举例52

第三章 存在和唯一性定理63

3.1 皮卡存在和唯一性定理63

3.2 佩亚诺存在定理71

3.2.1 欧拉折线71

3.2.2 Ascoli引理74

3.2.3 佩亚诺存在定理75

3.3 解的延伸81

3.4 比较定理及其应用89

4.1.1 微分法99

第四章 奇解99

4.1 一阶隐式微分方程99

4.1.2 参数法102

4.2 奇解106

4.3 包络111

4.4 奇解的存在定理117

第五章 高阶微分方程121

5.1 几个例子121

5.2 n维线性空间中的微分方程136

5.3 解对初值和参数的连续依赖性141

5.4 解对初值和参数的连续可微性148

第六章 线性微分方程组157

6.1 一般理论157

6.1.1齐 次线性微分方程组158

6.1.2 非齐次线性微分方程组164

6.2 常系数线性微分方程组169

6.2.1 矩阵指数函数的定义和性质170

6.2.2 常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵172

6.2.3 利用若尔当标准型求基解矩阵175

6.2.4 待定指数函数法177

6.3 高阶线性微分方程式190

6.3.1 高阶线性微分方程的一般理论192

6.3.2 常系数高阶线性微分方程197

第七章 幂级数解法207

7.1 柯西定理207

7.2 幂级数解法215

7.3 勒让德多项式220

7.4 广义幂级数解法225

7.5 贝塞尔函数236

第八章 定性理论与分支理论初步243

8.1 动力系统，相空间与轨线243

8.2.1 李雅普诺夫稳定性的概念250

8.2 解的稳定性250

8.2.2 按线性近似判断稳定性252

8.2.3 李雅普诺夫第二方法254

8.3 面上的动力系统，奇点与极限环259

8.3.1 初等奇点260

8.3.2 极限环270

8.3.3 Liénard作图法272

8.3.4 Poincaré映射与后继函数法275

8.4 结构稳定与分支现象277

8.4.1 一个大范围的结构稳定性定理277

8.4.2 高阶奇点的分支279

8.4.3 Hopf分支280

8.4.4 Poincaré分支281

8.4.5 多重闭轨的分支282

8.4.6 同宿轨线的分支283

8.4.7 奇异向量场的普适开折286

第九章 边值问题291

9.1 施图姆比较定理291

9.2 S-L边值问题的特征值298

9.3 特征函数系的正交性307

9.4 一个非线性边值问题的例子314

9.5 周期边值问题319

10.1 首次积分的定义323

第十章 首次积分323

10.2 首次积分的性质329

10.3 首次积分的存在性335

10.4 大范围的首次积分338

第十一章 一阶偏微分方程343

11.1 一阶齐次线性偏微分方程343

11.2 一阶拟线性偏微分方程347

11.3 几何解释353

参考文献360

习题答案与提示362