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第1章　数学预备知识1

1.1　数学物理方程简介1

1.2　正交函数族3

1.3　δ函数6

1.3.1　δ函数的定义6

1.3.2　δ函数的性质7

1.3.3　δ函数的辅助函数9

1.4　正交曲面坐标系10

1.4.1　正交曲面坐标系10

1.4.2　梯度、散度及拉氏算符表达式11

1.4.3　球坐标下的梯度、散度和拉氏算符表达式12

1.4.4　柱坐标下梯度、散度和拉氏算符表示式13

1.5　二阶线性常微分方程的级数解法13

1.5.1　二阶线性齐次常微分方程的常点与奇点13

1.5.2　在常点附近LW=0的级数解14

1.5.3　z0是P（z）和Q（z）的一阶极点时LW=0在z0的邻域的级数解15

1.5.4　已知LW=0的一个解W1≠0，求与W1线性无关的另一个解W218

1.5.5 在正则奇点附近LW=W″+PW′+QW＝0的级数解20

习题122

第2章　傅里叶变换23

2.1　周期函数的傅里叶展开——傅里叶级数23

2.1.1　周期函数的傅里叶级数23

2.1.2　奇函数与偶函数的傅里叶级数24

2.1.3　复指数形式的傅里叶级数24

2.2　有限区间上非周期函数的傅里叶级数26

2.3　傅里叶变换29

2.3.1　傅里叶变换29

2.3.2　多重傅里叶变换32

2.3.3　傅里叶变换的性质33

习题236

第3章　拉普拉斯变换38

3.1　拉普拉斯变换的定义38

3.1.1　从傅里叶变换到拉普拉斯变换38

3.1.2　一些常见函数的拉普拉斯变换39

3.2　拉普拉斯变换的基本性质41

3.3　拉普拉斯逆变换43

3.3.1　部分分式展开前的准备44

3.3.2　部分分式展开法44

3.3.3　用留数法求拉普拉斯逆变换48

3.4　应用拉普拉斯变换解常微分方程49

习题352

第4章　数学物理方程导论55

4.1　有关数学物理方程的一些基本概念55

4.1.1　数学物理方程和它的阶55

4.1.2　线性、非线性、拟线性，齐次与非齐次56

4.1.3　通解56

4.1.4　线性微分算子57

4.1.5　叠加原理58

4.2　数学物理方程的导出59

4.2.1　弦的横振动方程60

4.2.2　均匀杆的纵振动方程61

4.2.3　电报方程62

4.2.4　二维波动方程63

4.2.5　热传导方程64

4.2.6　扩散方程67

4.3　边界条件与初始条件68

4.3.1　初始条件69

4.3.2　边界条件70

4.3.3　第一类边界条件70

4.3.4　第二类边界条件71

4.3.5　第三类边界条件72

4.3.6　衔接条件74

4.3.7　例题75

4.4　二阶线性偏微分方程的分类78

4.4.1　两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类78

4.4.2　多于两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类83

4.5　一维波动方程的达朗贝尔解84

4.5.1　一维波动方程utt-a2uxx=0的通解84

4.5.2　无界弦的自由振动问题84

4.5.3　半无界弦（杆）的自由振动85

4.5.4　两端固定的有界弦的自由振动86

4.5.5　一端扰动引起的半无界弦振动87

4.5.6　无限长弦的强迫振动88

4.5.7　例题90

4.6　某些基本定解问题的唯一性定理92

4.6.1　推广的格林公式92

4.6.2　定解问题解唯一性的另一种表述93

4.6.3　三维波动方程定解问题的唯一性93

4.6.4　热传导方程定解问题的唯一性94

4.6.5　拉普拉斯方程定解问题的唯一性95

习题496

第5章　分离变量法99

5.1　齐次方程的分离变量法99

5.1.1　一维振动方程在第一类齐次边界条件下的分离变量99

5.1.2　一维振动方程在第二类齐次边界条件下的分离变量103

5.1.3　一维热传导方程在第一类齐次边界条件下的分离变量105

5.1.4　一维热传导方程在第二类齐次边界条件下的分离变量106

5.1.5　例题107

5.2　非齐次振动方程与输运方程的分离变量114

5.3　非齐次边界条件下的分离变量121

5.4　二维泊松方程133

习题5135

第6章　正交曲面坐标系中的分离变量139

6.1　球坐标系与柱坐标系中的分离变量139

6.1.1　拉普拉斯方程的分离变量139

6.1.2　波动方程的分离变量143

6.1.3　输运方程的分离变量143

6.1.4　亥姆霍兹方程的分离变量144

6.2　圆内狄利克雷问题148

习题6157

第7章　常微分方程的本征值问题159

7.1　分离变量法与本征值问题159

7.2　施图姆-刘维尔方程的本征值问题160

7.2.1　施图姆-刘维尔方程（S-L方程）160

7.2.2　S-L方程的本征值问题161

7.2.3　非奇异S-L方程本征值问题的基本性质163

7.2.4　已知Ly=ly的通解，求本征值与本征函数163

7.2.5　定理166

习题7166

第8章　勒让德多项式168

8.1　勒让德多项式的定义168

8.1.1　勒让德方程的本征值与本征函数169

8.1.2　勒让德多项式170

8.1.3　勒让德多项式的微分表示——罗德里格斯公式172

8.1.4　Pl（1）的计算173

8.2　勒让德多项式的正交性与归一化因子173

8.2.1　函数族｛Pl（x）｝的正交性173

8.2.2　正交函数族｛Pl（x）｝的归一化因子175

8.2.3　Pl（x）的生成公式176

8.2.4　Pl（x）的递推公式177

8.2.5　利用递推公式验证Pl（x）满足勒让德方程179

8.2.6　证明｜Pl（x）｜≤1179

8.2.7　正交函数族｛Pl（x）｝的完备性180

8.2.8　傅里叶-勒让德级数181

8.2.9　勒让德多项式的性质184

8.3　具有轴对称的物理问题例解186

8.4　连带勒让德函数200

8.4.1　连带勒让德函数的定义200

8.4.2　连带勒让德函数的微分表示201

8.4.3　连带勒让德函数的正交归一关系202

8.4.4　广义傅里叶级数203

8.4.5　连带勒让德函数的递推公式205

8.5　球函数206

8.5.1　球函数的定义206

8.5.2　球函数的正交关系207

8.5.3　球函数的正交归一化因子207

8.5.4　以球函数为基函数的广义傅里叶级数207

8.5.5　加法公式208

8.5.6　非轴对称下拉普拉斯方程的定解问题210

习题8213

第9章　贝塞尔函数215

9.1　贝塞尔函数的定义215

9.1.1　可化为贝塞尔方程的常微分方程215

9.1.2　贝塞尔方程的级数解216

9.1.3　三类贝塞尔函数219

9.1.4　贝塞尔函数的递推公式219

9.2　半奇数阶贝塞尔函数和Jn（x）在x→∞时的渐近表达式221

9.2.1　半奇数阶的贝塞尔函数Jn+1/2（x）221

9.2.2　Jv（x）在x→∞时的渐近表达式222

9.2.3　Jn（x）振荡特性与Jn（x）的零点224

9.3　Jn（x）的生成公式和积分表达式225

9.3.1　Jn（x）的生成函数225

9.3.2　Jn（x）的积分表达式226

9.3.3　I=？e-axJ0(bx)dx的计算（a,b为常数，且a＞0）227

9.3.4　加法公式228

9.4　贝塞尔方程的本征值问题230

9.4.1　贝塞尔方程对应的施图姆-刘维尔本征值问题230

9.4.2　本征函数的正交性232

9.4.3　归一化因子Ni=？rR？(r)dr233

9.4.4　傅里叶-贝塞尔级数235

9.4.5　应用举例237

9.5　球贝塞尔函数240

9.5.1　球贝塞尔函数240

9.5.2　球贝塞尔函数在x→0及x→∞的渐近公式242

9.5.3　球形区域内的本征值问题242

9.6　修正的贝塞尔函数245

9.7　利用各种贝塞尔函数解边值问题例解250

9.7.1　关于球贝塞尔函数的例题250

9.7.2　关于第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）的例题251

9.7.3　关于第三类贝塞尔函数的例题253

9.7.4　第一类贝塞尔函数应用于解边值问题255

9.8　常用公式267

9.8.1　各种贝塞尔函数267

9.8.2　递推公式269

9.8.3　奇异性与渐近展开269

9.8.4　生成公式与积分表达式270

9.8.5　加法公式271

9.8.6　含贝塞尔函数的积分271

9.8.7　归一化因子（把f（x）在区间［0,a］上作傅里叶-贝塞尔级数展开）272

习题9272

第10章　格林函数276

10.1　格林函数的基本概念276

10.2　泊松方程的格林函数277

10.2.1　格林公式277

10.2.2　调和函数的性质278

10.2.3　泊松方程的基本积分公式279

10.2.4　泊松方程的格林函数280

10.2.5　格林函数的对称性282

10.2.6　积分公式表283

10.3　亥姆霍兹方程的格林函数285

10.3.1　借助格林函数表示原边值问题的解285

10.3.2　自由格林函数286

10.4　用镜像法求拉普拉斯方程的格林函数290

10.4.1　镜像法290

10.4.2　圆内（或球内）狄氏问题的镜像法292

10.4.3　例题293

10.5　热传导方程初值问题的格林函数解法296

10.5.1　一维热传导方程296

10.5.2　三维热传导方程297

10.5.3　三维非齐次热传导定解问题298

10.6　波动方程初值问题的格林函数解法300

10.6.1　初始速度不为零的波动方程的格林函数解300

10.6.2　初始位移不为零的波动方程的格林函数解302

10.6.3　非齐次波动方程的格林函数解303

10.6.4　二维波动初值问题的格林函数解法304

10.7　推广的格林公式305

10.7.1　伴随算符与自伴算符305

10.7.2　广义格林公式306

10.7.3　椭圆型方程第一类边值问题的格林函数及解的积分形式306

10.7.4　椭圆型方程第二类边值问题的格林函数及解的积分形式308

10.7.5　抛物型方程的格林函数及解的积分公式308

10.7.6　双曲型方程的格林函数及解的积分公式310

习题10312

第11章　积分变换法与差分法314

11.1　傅里叶变换法314

11.2　拉普拉斯变换法317

11.3　差分法320

习题11325

附录A　傅里叶变换表326

附录B　拉普拉斯变换表329

附录C　Г函数332

附录D　高斯函数与误差函数335

附录E　贝塞尔函数J0（x）与J1（x）数表337

附录F　勒让德多项式与连带勒让德函数339

附录G　一些常见的数理方程边值问题解一览表341

习题答案349

参考文献364