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第一篇 程序及使用说明1

第一章 插值与微商1

第一节　一元M点不等距插值2

第二节　一元三点不等距成组插值3

第三节　Aitken插值4

第四节　Hermite插值5

第五节　有理插值6

第六节　有理分段插值8

第七节　二重抛物拟合插值、微商与积分9

第八节　三次样条函数插值、微商与积分11

第九节　第一种边界条件三次样条函数插值、微商与积分13

第十节　第二种边界条件三次样条函数插值、微商与积分15

第十一节　第三种边界条件三次样条函数插值、微商与积分16

第十二节　牛顿插值与导数18

第十三节　二元N点插值20

第十四节　二元三点不等距成组插值21

第十五节　二维光滑插值22

第十六节　数值微商25

第十七节　外推法数值微商26

第十八节　差商检验27

第二章　数值积分28

第一节　Simpson成组积分28

第二节　变步长Simpson积分30

第三节　自适应Simpson积分31

第四节　改进的Romberg积分32

第五节　样条外推法积分34

第六节 切比雪夫积分35

第七节　广义积分36

第八节　变步长Simpson二重积分38

第九节　Gauss多重积分40

第十节　Monte Carlo多重积分41

第十一节　Laguerre积分42

第十二节　Hermite积分43

第十三节　Fourier积分44

第三章　线性代数计算47

第一节　矩阵加、减与乘运算48

第二节　矩阵秩、行列式值与数乘运算48

第三节　Gauss消去法51

第四节　全主元Gauss消去法52

第五节　列主元Gauss消去法53

第六节　Gauss-Jordan最大主元消去法54

第七节　Crout分解法56

第八节　线性对称方程组的分解法57

第九节　对称带方程组的解法58

第十节　一般带型线性方程组的求解60

第十一节　大型对称变宽带方程组的求解61

第十二节　大型稀疏方程组的求解63

第十三节　对称正定方程组的Cholesky分解法65

第十四节　三对角型方程组的追赶法66

第十五节　广义求逆及解线性方程组67

第十六节　病态线性方程组的求解69

第十七节　复系数线性方程组的求解70

第十八节　共轭斜量法解线性方程组72

第十九节　Gauss-Seidel法及松弛迭代法73

第二十节　Gauss-Jordan消去法解线性方程组、求逆矩阵及行列式的值74

第二十一节　叶尔绍夫法求逆矩阵75

第二十二节　Snermar-Morrison法求逆矩阵76

第二十三节　求对称带型矩阵逆的因子形式77

第二十四节　正定对称矩阵的求逆78

第二十五节　Jacobi法求实对称矩阵的特征值与特征向量79

第二十六节　QR法求一般实矩阵的全部特征值与特征向量81

第二十七节　QL法求实对称三对角矩阵的特征值87

第二十八节　QL法求实对称矩阵的全部特征值与特征向量88

第二十九节　QR法求实Hessenberg型矩阵的特征值91

第三十节 化一般矩阵为Hessenberg型矩阵93

第三十一节　化一般实对称矩阵为三对角矩阵94

第三十二节 广义特征值问题的简化95

第四章　非线性方程（组）的计算99

第一节　2、3、4次代数方程的直接计算法99

第二节　改进Newton法求单实根101

第三节　改进的弦位法求单实根102

第四节　插值法求单实根104

第五节　Monte Carlo法求单实根105

第六节　Bernoulli法求最大（小）实根106

第七节　Newton-Maehly法求全部实根107

第八节　林—赵法求全部根108

第九节　牛顿下山法求全部根109

第十节　二分法求全部单重实根111

第十一节　Muller法求全部根112

第十二节　弦截法求全部根114

第十三节　优选法求全部根115

第十四节　Bairstow-Newton法求全部根117

第十五节　Monte Carlo法求单个复根119

第十六节　牛顿下山法求复系数代数方程的全部根120

第十七节　梯度法求解非线性方程组122

第十八节　线性插值法求解非线性方程组123

第十九节　拟牛顿法求解非线性方程组125

第二十节　Broyden法求解非线性方程组127

第二十一节　Newton-Raphson法求解非线性方程组128

第二十二节　Monte Carlo法求解非线性方程组129

第五章　常微分方程（组）的计算131

第一节　定步长Runge-Kutta单步法132

第二节　Gill单步法133

第三节　定步长五阶单步法134

第四节　Merson单步法135

第五节　Adams-Bashforth-Moulton法137

第六节　定步长改进Hamming法138

第七节　双边法140

第八节　外插法141

第九节　Treanor法144

第十节　Gear法146

第十一节　二阶常微分方程（组）边值问题的差分解法152

第六章　最优化155

第一节　0.618法一维寻优156

第二节　三次插值法一维寻优157

第三节　黄金分割一维寻优158

第四节　抛物线一维寻优161

第五节　牛顿-梯度法164

第六节　DFP变尺度法166

第七节　BFS变尺度法168

第八节　DFP-BFS联合变尺度法170

第九节　Broyden变尺度法173

第十节　利用差商的DFP变尺度法175

第十节　PRP共轭梯度法177

第十二节　FR共轭梯度法179

第十三节 利用差商的共轭梯度法181

第十四节　模式搜索法183

第十五节　Powell法185

第十六节　复合形法187

第十七节　Marquardt法189

第十八节　广义逆法192

第十九节　可变误差多面体法194

第二十节　SCDD法202

第二十一节　网格法205

第二十二节　解一般线性规划问题的改进单纯形法206

第二十三节　不等式约束线性规划问题209

第一节　正交多项式曲线拟合212

第七章　拟合与平滑212

第二节　指数曲线拟合213

第三节　切比雪夫曲线拟合215

第四节　多项式拟合216

第五节　一般非线性函数的最小二乘拟合217

第六节　最小二乘曲面拟合220

第七节　五点三次平滑224

第八节　样条函数平滑224

第八章　数据处理与回归分析227

第一节　一元线性回归分析227

第二节　二元线性回归分析228

第三节　多元线性回归分析230

第四节　逐步回归分析234

第五节　多因素方差分析236

第六节　异常数据的剔除238

第一节　正交多项式241

第九章　特殊函数241

第二节　正态分布函数242

第三节　实误差函数243

第四节　正弦和余弦积分244

第五节　Fresnel积分245

第六节　Gamma函数246

第七节　Gamma函数的自然对数247

第八节　整数阶Bessel函数248

第九节　整数阶球Bessel函数249

第十节　两类完全或不完全椭圆积分249

第十一节 指数积分250

第十章　快速Fourier变换252

第一节　Fourier级数逼近252

第二节　快速Fourier变换253

第二节　Poisson分布随机数的产生255

第一节　正态分布随机数的产生255

第十一章　其他255

第三节　任意分布随机数的链检验256

第四节　均匀分布随机数的检验257

第五节　随机数的独立性检验258

第六节　正态分布的上概率及逆运算259

第七节　复数的除法260

第八节　ez（z为复数）261

第九节 复变量的自然对数261

第十节　复数的模262

第十一节　复数的平方根263

第十二节　复变量的三角函数264

第十三节　复数的幂指函数265

第十四节　级数的反演266

第一章　插值267

例1.1 一般插值问题（YY1—1）267

第二篇　应用实例267

例1.2　函数值随自变量变化剧烈或变化十分平缓情况下的插值问题（YY1—2）268

例1.3　逆插值问题（YY1—3）269

例1.4　周期函数的插值问题（YY1—4）270

例1.5　埃尔米特插值问题（YY1—5）271

例1.6　分段插值问题（YY1—6）272

例1.7　成组插值问题（YY1—7）273

例1.8　离散数据点上的导数（YY1—8）274

例1.9　离散数据点的积分（YY1—9）275

例1.10　数值微分（YY1—10）276

例1.11 二元函数的插值（YY1—11）276

第二章　数值积分278

例2.1 一般积分问题（YY2—1）278

例2.2　强峰陡坡型函数的积分（YY2—2）278

例2.3　半无穷区间的积分（YY2—3）279

例2.4 无穷区间的积分（YY2—4）280

例2.5　“奇异”积分（YY2—5）281

例2.6　离散数据的积分（YY2—6）282

例2.7 多重积分（YY2—7）283

例2.8　Monte Carlo积分（YY2—8）284

第三章　线性代数286

例3.1　矩阵秩的计算（YY3—1）286

例3.2　一般线性方程组的求解（YY3—2）286

例3.3　一般带型线性方程组的求解（YY3—3）287

例3.4　对称变宽带线性方程组的求解（YY3—4）288

例3.5　稀疏方程组的求解（YY3—5）289

例3.6　三对角型方程组的求解（YY3—6）289

例3.7 复系数线性方程组的求解（YY3—7）290

例3.8　迭代法求解大型线性方程组（YY3—8）291

例3.9 逆矩阵的计算（YY3—9）292

例3.10　求一般实阵的全部特征值及特征向量（YY3—10）292

例3.11 求实Hessenberg型矩阵的特征值（YY3—11）293

例3.12 化一般实阵为三对角矩阵（YY3—12）294

第四章　非线性方程（组）296

例4.1 求代数方程的单个实根（YY4—1）296

例4.2　求任意实函数的单个实根（YY4—2）296

例4.3 求任意函数的单个复根（YY4—3）297

例4.4 求代数方程模最大（小）根（YY4—4）297

例4.5　求代数方程的全部根（YY4—5）298

例4.6　求任意实函数的全部根（YY4—6）298

例4.7 求复系数代数方程的全部根（YY4—7）299

例4.8 非线性方程组的求解（YY4—8）299

例4.9　常微分方程两点边值问题的求解（YY4—9）300

第五章　微分方程（组）303

例5.1 一般常微分方程的求解（YY5—1）303

例5.2 常微分方程组一般初值问题的求解（YY5—2）304

例5.3　常微分方程组“假边值”问题的求解（YY5—3）304

例5.4 高阶微分方程的求解（YY5—4）305

例5.5 刚性问题的求解（YY5—5）307

例5.6 二阶微分方程边值问题的求解（YY5—6）308

例5.7 偏微分方程的求解（YY5—7）309

第六章　最优化311

例6.1 求一般一元函数的极值（YY6—1）311

例6.2　求特殊一元函数的极值（YY6—2）311

例6.3　求无约束多元函数的极值（YY6—3）312

例6.4　求不可微无约束多元函数的极值（YY6—4）313

例6.5　求有约束多元函数的极值（YY6—5）314

例6.6　求解线性规划问题（YY6—6）315

例6.7　非线性方程组的求解（YY6—7）316

例6.8　一般参数估值问题（YY6—8）317

例6.9 微分方程边值问题的求解（YY6—9）319

例6.10 微分方程的参数估值问题（YY6—10）320

第七章 数据处理323

例7.1 数据的取舍（YY7—1）323

例7.3 数据的拟合（YY7—3）324

例7.2 数据的平滑（YY7—2）324

例7.4 多元线性回归（YY7—4）326

例7.5 逐步回归分析（YY7—5）327

例7.6　最小二乘曲面拟合（YY7—6）329

第八章　其他332

例8.1 付里叶级数逼近（YY8—1）332

例8.2 快速付里叶变换（YY8—2）332

例8.3 实误差函数的计算（YY8—3）333

例8.4 正态分布函数的计算（YY8—4）334

例8.5　指数积分的计算（YY8—5）334

例8.6 随机数的独立性检验（YY8—6）335

例8.7 正态分布上概率及逆运算（YY8—7）335

例8.8 级数的反演（YY8—8）336

附录337

参考文献345