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第一章　矢量函数的微分与积分1

1—1　一元矢量函数的微分与积分1

一、矢量函数1

二、一元矢量函数的微商2

三、一元矢量函数的微分5

四、一元矢量函数的积分6

1—2　多元矢量函数的微分与积分8

一、多元矢量函数的偏微商8

二、多元矢量函数的全微分10

三、多元矢量函数的积分10

第二章　标量场与矢量场14

2—1　标量场的梯度14

一、方向导数14

二、梯度的概念15

三、梯度的基本运算公式17

四、柱坐标系和球坐标系中的梯度表示式18

2—2　矢量场的散度20

一、通量20

二、散度的概念21

三、散度的基本运算公式23

四、柱坐标系和球坐标系中的散度表示式23

2—3　矢量场的旋度25

一、环量及环量强度25

二、旋度的概念27

三、旋度的基本运算公式28

四、柱坐标系和球坐标系中的旋度表示式29

2—4　拉普拉斯运算和格林公式32

一、标量场的拉普拉斯32

二、格林公式32

三、矢量场的拉普拉斯33

2—5　无旋场与无源场35

一、无旋场35

二、无旋场的势35

三、无源场37

四、无源场的矢势38

2—6　从散度和旋度求解矢量场40

一、矢量场被它的散度、旋度和边界条件唯一确定40

二、已知无旋场的散度求解场40

三、已知无源场的旋度求解场41

四、已知矢量场的散度和旋度求解场42

第三章　二阶张量44

3—1　张量的概念44

一、标量和矢量的变换44

二、二阶张量的引入47

三、二阶张量的变换49

四、二阶张量表示法对称张量与张量共轭51

3—2　张量的代数运算54

一、张量相加减54

二、标量与张量相乘54

三、矢量对张量点乘56

四、张量对矢量点乘56

五、张量与张量点乘57

3—3　矢量场的梯度与张量场的散度59

一、张量场59

二、矢量场的梯度60

三、张量场的散度61

第四章　解析函数65

4—1　复变函数的微商科希-曼条件65

一、复变函数65

二、多值函数68

三、复变函数的微商70

四、解析函数与科希-里曼条件71

五、平面有势场73

4—2　复变函数的积分　科希定理与科希公式76

一、复变函数的积分76

二、科希定理76

三、科希公式79

4—3　泰勒展开与罗朗展开82

一、复变幂级数82

二、泰勒展开85

三、罗朗展开87

四、奇点分类90

4—4　留数定理91

一、留数和留数定理91

二、计算在极点的留数的方法92

三、应用留数定理计算实变函数定积分93

第五章　数学物理方程及其定解条件99

5—1　数学物理方程的导出99

一、均匀弦的微小横振动100

二、气体的三维声波101

三、输运方程103

四、泊松方程与拉普拉斯方程104

5—2　定解条件105

5—3　定解问题的适定性110

第六章　直角坐标系里的分离变数法112

6—1　用傅里叶展开分离变数112

6—2　直接分离变数118

6—3　非齐次方程与非齐次边界条件的处理125

第七章　球坐标系里的分离变数法球函数133

7—1　勒让德方程的引出133

7—2　斯特姆-刘维型方程的本征值问题137

7—3　勒让德方程的解142

7—4　勒让德多项式146

一、勒让德多项式的微商表示式146

二、勒让德多项式的母函数147

三、勒让德多项式的递推算公式149

四、傅里叶-勒让德展开150

7—5　缔合勒让德函数与一般球函数155

一、缔合勒让德方程的解155

二、傅里叶-缔合勒让德展开156

三、一般球函数158

第八章　柱坐标系里的分离变数法　柱函数162

8—1　贝塞耳方程的引出162

8—2　贝塞耳方程的解165

一、非整数阶贝塞耳方程的解165

二、整数阶贝塞耳方程的解168

三、虚宗量贝塞耳方程的解170

8—3　贝塞耳函数172

一、Jm（x）的递推公式173

二、整数阶贝塞耳函数的母函数174

8—4贝塞耳方程的本征值问题175

8—5球贝塞耳方程184

第九章 点源法188

9—1δ函数188

9—2冲量定理法192

9—3波动方程与输运方程的格林函数法198

9—4泊松方程的格林函数法202

一、泊松方程的格林函数202

二、格林函数的对易性204

三、泊松方程结合齐次边界条件的积分公式205

四、泊松方程结合非齐次边界条件的积分公式206

第十章 无界空间定解问题213

10-1齐次波动方程的行波法213

一、一维波动方程达朗伯公式213

二、三维波动方程泊松公式216

三、二维波220

10—2输运方程的傅里叶变换法221

一、傅里叶积分与傅里叶变换222

二、多重傅里叶积分与多维傅里叶变换226

三、傅里叶变换法解输运问题举例228

10-3非齐次方程的点源法231

一、无界空间的泊松方程231

二、无界空间的非齐次输运方程231

三、无界空间的非齐次波动方程推迟势232

第十一章　变分法初步236

一、泛函236

二、泛函的极值与泛函的变分237

三、欧勒方程239

四、泛函的条件极值问题242

五、瑞利-里兹方法243

附录254