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第一篇 装备精良“兵器”——掌握基本方法1

第一章 分析法　综合法2

一、分析法2

1．选择型分析法3

2．可逆型分析法5

3．构造型分析法6

4．设想型分析法8

二、综合法10

1．分析型综合法13

2．奠基型综合法14

3．媒介型综合法14

4．解析型综合法17

练习题1.119

第二章 反证法 同一法21

一、反证法21

1．什么是反证法21

2．何时用反证法24

3．怎样用好反证法27

1．什么是同一法29

二、同一法29

2．怎样用好同一法31

练习题1.234

第三章 面积法36

一、面积法解题的基本依据36

1．几个面积公式36

2．几个常用的等积变形定理37

3．几个常用的面积比定理37

4．几个重要结论37

1．解面积问题41

二、面积法的解题方式41

2．解非面积问题——证教材中定理42

3．解非面积问题——求解各类问题44

练习题1.347

第四章 割补法49

一、挖掘题设内涵，进行图形割补拼凑重组49

1．既割又补，探其奥妙49

2．多次割补拼凑重组，大开眼界50

3．多种割补，解法多多51

1．补出三角形52

二、根据题设特征，巧补各类图形52

2．补出直角三角形53

3．补出等腰三角形54

4．补出正三角形55

5．补出平行四边形或梯形55

6．补出矩形或正方形56

7．补出正多边形57

8．补出圆58

三、分析题设结构，善用出入相补59

9．补对称图59

练习题1.461

第五章 代数法62

一、适时使用计算手段62

1．直接计算62

2．进行代换后计算64

3．应用公式转化后计算65

二、巧妙借助代数模型66

1．借助函数模型66

2．借助方程模型68

3．借助方程组模型70

4．借助不等式模型71

5．借助多项式模型73

练习题1.574

第六章 参量法 三角法76

一、参量法76

1．引入线段参量76

2．引入线段比参量79

3．引入面积参量80

4．引入角参量83

二、三角法84

1．显式问题84

2．隐式问题86

练习题1.693

第七章 几何变换法95

一、合同变换法95

1．平移变换95

2．轴反射变换97

3．旋转变换99

4．中心对称变换101

二、相似变换法102

1．图形的相似102

2．位似变换103

3．位似旋转变换105

三、等积变换法106

四、反演变换法107

1．求解直线与圆、圆与圆的相切问题109

2．证明点共圆、点共直线109

3．求解线段关系式111

4．证明角相等112

5．求解其他问题113

练习题1.7113

第八章 坐标法116

一、平面直角坐标116

二、平面极坐标122

三、平面斜（仿射）坐标126

四、面积坐标（重心坐标）130

练习题1.8133

一、向量的有关基础知识135

第九章 向量法135

1．善于运用向量线性运算及性质137

二、向量法解平面几何问题的方式与技巧137

2．善于运用向量的三角形不等式140

3．善于运用向量的数量积141

4．善于运用向量的矢量积144

练习题1.9146

第十章 复数法148

一、基本几何量的复数表示及基本结论148

1．用向量法求解的问题也可用复数法求解150

二、复数法运用的方式与技巧150

2．运用复数知识可有多种解法151

3．灵活运用复数知识求解各类问题153

练习题1.10159

第十一章 射影法161

一、作出点的射影，显现求解媒介量161

二、运用射影定理，转化求解关系式163

三、善用平面射影变换，巧解各类问题165

1．射影变换的基本知识165

2．射影变换解题举例169

练习题1.11173

第十二章 消点法175

练习题1.12180

第十三章 物理方法181

一、运用力学原理181

1．重心原理181

2．力系平衡原理185

二、运用光学原理186

练习题1.13187

第十四章 完全归纳法　数学归纳法189

一、完全归纳法189

二、数学归纳法191

练习题1.14192

第二篇 懂得诸子“兵法”——熟悉基本思路194

第一章 线段相等问题的求解思路195

一、注意到三角形中等角对等边195

二、注意到特殊多边形的性质196

三、注意到全等三角形的对应边相等197

五、注意到线段中垂线、垂径分弦等性质198

四、注意到圆中的等弧（圆周角）对等弦198

六、注意到成比例线段间的数量关系199

七、进行计算、代换等来转换求解200

八、注意运用边比定理、张角定理等求解201

九、运用结论“梯形两腰延长线的交点与对角线交点的连线平分上下底”证线段相等202

十、注意到面积方法的运用203

十一、注意到其他方法的运用203

练习题2.1204

一、注意到全等多边形的对应角相等207

第二章 角度相等问题的求解思路207

二、注意到相似多边形的对应角相等208

三、注意到特殊多边形（如等腰三角形、等腰梯形、平行四边形等）的性质208

四、注意到角的平分线定义与性质及多边形内心性质求解209

五、注意到圆中的几类角间的关系210

六、运用计算或转换求解211

七、注意到三角形内角平分线性质定理的逆定理求解212

八、运用三角函数关系式求解213

九、运用几何变换（平移、对称、旋转、相似、位似）求解215

十、运用其他方法求解215

练习题2.2216

一、注意到内错角相等218

第三章 直线平行问题的求解思路218

二、注意到同位角相等219

三、注意到两直线与第三条直线都垂直（或平行）220

四、注意到两直线上的线段构成平行四边形的一组对边220

五、注意到两直线上的线段是三角形（或梯形）的中位线与底边221

六、注意到三角形一边的平行线的判定定理或平行线分线段成比例定理的逆定理222

七、注意到同圆中夹等弧且无交点的两弦（或一弦与一切线）平行的事实223

八、注意到过相交（或相切）两圆交点分别作割线交两圆于四点，同一圆上的两点的弦互相平行的事实224

练习题2.3225

九、注意到同底等面积的两三角形的底边与同侧另两对应顶点所在直线平行的事实225

第四章 直线垂直问题的求解思路227

一、注意到相交成直角的两直线垂直227

二、注意到相交得邻补角相等的两直线垂直228

三、注意到直径所张圆周角两边垂直228

四、注意到如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，则也和另一条垂直229

五、注意到分别与两互垂的直线平行的直线垂直230

六、注意到等腰三角形的性质230

八、注意到菱形对角线互垂的性质231

七、注意到三角形的垂心性质231

九、注意到同圆中夹弧和为半圆周的相交两弦垂直232

十、注意到与直角三角形相似对应于直角的角的两边垂直232

十一、注意到分别为两边对应垂直的两个相似三角形的第三边也互相垂直233

十二、注意到证明两线段垂直的一种计算方法233

十三、注意到勾股定理的逆定理234

十四、注意到同一法（或反证法）等方法的运用234

练习题2.4235

一、欲证X,Y,Z三点共线，连结XY和YZ，证明∠XYZ=180°237

第五章 点共直线问题的求解思路237

二、欲证X,Y,Z三点共线，适当地选一条过Y的直线PQ，证∠XYQ=∠PYZ238

三、欲证X,Y,Z三点共线，适当地选一条过X的射线XP，证∠PXY=∠PXZ239

四、欲证X,Y,Z三点共线，连接XY,YZ（或XZ），证其都垂直（或平行）于某直线239

五、欲证X,Y,Z三点共线，证XY+YZ=XZ240

六、欲证三点共线，证其中一点在连结另两点的直线上241

七、欲证三点共线，适当地选取位似中心，或证它们的象共线，或证它们以其中一点为位似中心，另两点为一双对应点241

八、运用面积方法证三点共线242

九、运用张角公式证三点共线243

十、运用梅涅劳斯定理之逆定理证三点共线243

十一、运用有关结论证三点共线244

练习题2.5246

第六章 直线共点问题的求解思路249

一、先设其中的二直线交于某点，再证这个交点在第三、第四……条直线上249

二、欲证直线l1,l2,…,lk共点，先在li上取一特殊点，再证其余直线都过此点250

三、设法证两两相交直线的交点重合250

四、运用三角形的巧合点（内心、外心、垂心、重心、旁心等）证直线共点252

五、注意到特殊图形或多边形的中心的性质，证直线共点于图形中的特殊点253

六、运用旋转、轴反射等变换的保结合性证明直线共点253

七、运用位似图形的对应顶点的连线必过位似中心证直线共点254

八、运用塞瓦定理之逆定理证直线共点255

九、运用斯坦纳定理之逆定理证直线共点256

十、运用根心定理证直线共点256

十一、运用解析法证直线共点257

十二、运用反证法等其他方法证直线共点257

练习题2.6257

第七章 点共圆问题的求解思路260

一、注意到圆的定义：若n（n≥4）个点与某定点的距离都相等，则这n个点共圆260

二、注意到若线段AC与BD相交且∠ACB=∠ADB，则A,B,C,D共圆；线段的同侧张角相等时，其张角顶点与线段端点共圆260

三、注意到若凸四边形中有一组对角互补，则它的四个顶点共圆261

五、注意到相交弦定理、割线定理、切割线定理的逆定理的运用262

四、注意到若凸四边形的一个外角等于它的内对角，则四边形的四个顶点共圆262

六、注意到托勒密定理的逆定理的运用263

七、注意到矩形、等腰梯形四顶点是共圆的263

八、利用与有外接圆的多边形相似的多边形的顶点共圆264

九、欲证多点（多于四点）共圆，先证四点（或四点以上）共圆，再证其余的点也在这个圆上265

十、欲证多点共圆，先分别证几组点共圆，再证这几个圆重合（至少有三点共圆）265

十一、运用同一法等其他方法证四点共圆266

练习题2.7266

二、证其中两圆的某一交点在其他各圆上269

一、证诸圆均过图形中的某一个特殊点269

第八章 圆共点问题的求解思路269

练习题2.8271

第九章 几何定值、定位问题的求解思路272

一、定值问题272

1．取特殊位置探猜，在一般位置论证272

2．取极端位置探猜，在一般位置论证273

3．利用有关公式直接计算274

4．运用有关结论推导计算274

5．借助于其他方法（如割补法、复数法、坐标法等）和工具（如多项式等）推导计算277

1．特殊位置定位，一般位置论证278

2．变中寻定278

二、定位问题278

3．转化为求解定值问题，由定值定位置279

4．运用有关公式及结论推导论证279

三、隐性定值、定位问题280

练习题2.9281

第十章 几何极（最）值问题的求解思路284

一、注意到图形中的特殊点284

二、注意到图形中元素间相互特殊关系285

三、引入变元，利用二次函数的极值性求解286

四、构造二次方程，利用判别式来求解287

五、引入三角函数，利用三角函数的极值性求解288

六、引入参量，利用不等式来求解289

七、灵活运用等周定理等有关结论290

练习题2.10291

第十一章　几何不等式的求解思路293

一、充分利用关于不等的熟知的几何结论293

二、运用放缩，将不等式转化为等式求解295

三、用三角函数表示有关几何量，借助三角函数的增减性、有界性求解296

四、用参量表示有关几何量，借助于代数不等式求解297

五、借助于著名的几何不等式求解298

六、三角形不等式的几种特殊求解思路300

1．巧用统一代数替换300

2．巧用边的对称齐次多项式性质301

3．注意到三角形不等式的等价变形301

4．巧用三角函数形式的相关关系302

5．利用母不等式，巧取特值303

6．灵活运用变换原则304

练习题2.11304

一、轨迹问题306

第十二章　点的轨迹、作图问题的求解思路306

1．第Ⅰ型轨迹问题要从两方面证明307

2．第Ⅱ型轨迹问题既要探求，又要从两方面证明、讨论307

3．第Ⅲ型轨迹问题关键在于探求，探求时可从描迹、条件代换、几何变换、几何动态、运用解析法等诸方面去考虑308

二、作图问题309

1．代数法311

2．交轨法311

3．三角形奠基法311

4．变换法312

练习题2.12312

第三篇　部署优势“兵力”——善用基本性质314

第一章　三角形中的巧合点问题315

一、三角形外心的基本性质及应用315

二、三角形垂心的基本性质及应用316

三、三角形重心的基本性质及应用318

四、三角形内心的基本性质及应用320

五、三角形旁心的基本性质及应用323

六、三角形外、内、重、垂、旁心之间的关系及应用326

1．三角形“五心”的直角坐标326

2．三角形“五心”间的相互位置关系328

3．三角形“五心”间的距离公式329

4．三角形“五心”的有关线段关系式333

七、三角形界心的基本性质及应用338

八、三角形费马点的基本性质及应用342

九、三角形勃罗卡点的基本性质及应用343

练习题3.1346

第二章　几类三角形中的数量及位置关系问题351

一、直角三角形中的一些数量、位置关系及应用351

二、三角形三边所在直线上的定比分点三角形的一些面积关系式及应用359

三、莫莱（Morley）三角形的一些数量、位置关系363

练习题3.2369

第三章　四边形中的一些数量、位置关系372

一、凸四边形372

二、折四边形383

练习题3.3385

第四章　与圆有关的几类问题388

一、圆的内接、外切凸n（n≥4）边形问题388

二、圆的内接凸四边形问题394

三、双圆四边形403

四、三角形的半外切圆与半内切圆407

五、圆与圆的位置关系中的一些问题410

练习题3.4416

第五章关联正多边形的问题419

一、关联的正三角形419

二、关联的正方形424

练习题3.5431

附录　数学奥林匹克中的几何问题研究与几何教学探讨434

封面图形说明443

封面图形说明（补）449

参考文献450

编辑手记453