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1 常微分方程1

1.1 微分方程基本概念1

1.1.1 微分方程的定义1

1.1.2 微分方程的分类3

1.1.3 微分方程的通解与特解3

1.1.4 微分方程的初值问题4

习题1.15

1.2 一阶微分方程5

1.2.1 解的存在性与唯一性6

1.2.2 可分离变量的方程6

1.2.3 齐次方程8

1.2.4 一阶线性方程9

1.2.5 全微分方程11

1.2.6 可用变量代换法求解的一阶微分方程12

习题1.214

1.3 二阶微分方程16

1.3.1 可降阶的二阶方程16

1.3.2 二阶线性方程通解的结构18

1.3.3 二阶常系数线性齐次方程的通解22

1.3.4 二阶常系数线性非齐次方程的特解与通解（待定系数法）25

1.3.5 二阶常系数线性非齐次方程的特解（常数变易法）30

1.3.6 特殊的二阶变系数线性方程33

1.3.7 二阶变系数线性方程的幂级数解法35

习题1.336

1.4 微分方程的应用38

1.4.1 一阶微分方程的应用题38

1.4.2 二阶微分方程的应用题40

习题1.442

2 行列式与矩阵44

2.1 行列式45

2.1.1 n阶行列式的定义45

2.1.2 行列式的性质50

2.1.3 行列式的计算55

习题2.161

2.2 矩阵的基本概念与运算63

2.2.1 矩阵的基本概念63

2.2.2 常用的特殊矩阵64

2.2.3 矩阵的运算66

2.2.4 分块矩阵72

2.2.5 矩阵的行列式76

习题2.279

2.3 矩阵的初等变换与初等矩阵81

2.3.1 初等变换81

2.3.2 初等矩阵81

2.3.3 阶梯形矩阵84

习题2.387

2.4 矩阵的秩88

2.4.1 矩阵的秩的定义88

2.4.2 用初等行变换求矩阵的秩89

习题2.491

2.5 可逆矩阵与逆矩阵92

2.5.1 可逆矩阵的定义92

2.5.2 矩阵可逆的充要条件与伴随矩阵93

2.5.3 乘积矩阵、转置矩阵与伴随矩阵的逆矩阵96

2.5.4 用初等行变换求逆矩阵100

2.5.5 克莱姆法则101

2.5.6 用初等行变换解系数行列式不等于零的线性方程组104

习题2.5106

3 向量与线性方程组109

3.1 向量组的线性相关性109

3.1.1 向量组线性相关与线性无关的定义109

3.1.2 线性相关与线性无关向量组的性质114

习题3.1117

3.2 向量组的极大无关组119

3.2.1 极大无关组的定义119

3.2.2 用初等行变换求极大无关组120

3.2.3 向量组的秩124

3.2.4 用初等行变换求向量组的秩126

习题3.2127

3.3 和秩定理与积秩定理128

3.3.1 矩阵的列秩与行秩128

3.3.2 和秩定理129

3.3.3 积秩定理129

习题3.3133

3.4 向量空间与欧氏空间134

3.4.1 向量空间基本概念134

3.4.2 基变换与坐标变换137

3.4.3 欧氏空间基本概念142

3.4.4 施密特正交规范化方法144

3.4.5 正交矩阵与正交变换146

习题3.4149

3.5 线性方程组解的属性151

3.5.1 线性方程组的基本概念151

3.5.2 线性方程组解的性质153

3.5.3 线性方程组解的属性153

习题3.5160

3.6 线性方程组的通解161

3.6.1 线性齐次方程组的基础解系162

3.6.2 线性齐次方程组的通解164

3.6.3 线性非齐次方程组的通解168

习题3.6172

4 特征值问题与二次型175

4.1 特征值与特征向量175

4.1.1 特征值与特征向量的定义175

4.1.2 特征值与特征向量的求法176

4.1.3 特征值与特征向量的性质179

习题4.1183

4.2 矩阵的相似对角化185

4.2.1 相似矩阵185

4.2.2 矩阵的相似对角化187

4.2.3 矩阵在正交变换下的相似对角化194

习题4.2198

4.3 二次型的基本概念200

4.3.1 二次型的矩阵表示201

4.3.2 二次型的等价203

习题4.3204

4.4 矩阵的合同对角化205

4.4.1 合同矩阵205

4.4.2 矩阵的合同对角化206

4.4.3 矩阵在正交变换下的合同对角化209

习题4.4211

4.5 二次型的标准型212

4.5.1 二次型的标准型与规范型212

4.5.2 化二次型为标准型的配方法214

4.5.3 化二次型为标准型的正交变换法215

4.5.4 化二次型为标准型的初等变换法218

4.5.5 惯性定理219

习题4.5222

4.6 正定二次型与正定矩阵224

4.6.1 二次型的分类224

4.6.2 正定二次型与正定矩阵的判别法224

习题4.6228

5 线性空间与线性变换230

5.1 线性空间的基本概念230

5.1.1 线性空间的定义230

5.1.2 线性空间的基与维数232

5.1.3 向量的坐标232

5.1.4 基变换公式与坐标变换公式233

习题5.1236

5.2 线性变换的基本概念237

5.2.1 线性变换的定义237

5.2.2 线性变换的矩阵237

5.2.3 不同基下线性变换的矩阵间的关系238

习题5.2242

习题答案与提示243